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誤答から学ぼうシリーズ・2平面のなす角

2016.08.14 14:47|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189




今回は2平面のなす角に関する誤答を見てみます~


問題: 図のような立方体ABCD-EFGHに対し,辺CGを2:1に内分する点Pをとる。3点D,F,Pを含む平面をαとし,
αと底面EFGHのなす鋭角をθとするとき,cosθの値を求めよ。

rr1.jpg






それでは誤答例です~






rr2.jpg
rr6.jpg


αによる立方体の切り口は誤答例の中の図にあるような平行四辺形FPDQです。
どこの角がθと等しいのかを見誤らないようにするというのが今回のポイントなのですが,
誤答例では残念ながらθと等しくない角をθと誤認してしまいました。
もしかしたらθと等しいと感じてしまうかもしれない角が図を見るといくつかありますね。
∠PRG,∠PFG,∠EFQなどですかね。
しかし,この3つはいずれもθとは等しくありません~
そこで,2平面のなす角とは何であったかをここでおさらいしてみたいと思います~ kero.gif


rr9.jpg


図のように2平面α,βが交わっていてその交線がℓであるとしましょう~
ℓ上の点Oに対して AO⊥ℓ であるようなα上のOと異なる点Aと, BO⊥ℓ であるようなβ上のOと異なる点Bをとるとき,
2平面α,βのなす角θは2直線OAとOBのなす角として定められます~ dog_shy.gif
場合によっては  の範囲でなす角を考えることもあります~
点Oの取り方によらずにθが定まることにも注意です。
また,αとβの零ベクトルでない法線ベクトルをそれぞれ  とするとき,
この2つのベクトルのなす角としてα,βのなす角θを捉えることも出来ます~
このため,  の範囲で考えるとすれば,xyz空間上の2平面
α:ax+by+cz+d=0 , β:Ax+By+Cz+D=0 のなす角θについて



が成り立ちます~ dolphin.gif
αの法線ベクトルの1つが (a,b,c),αの法線ベクトルの1つが (A,B,C) だからですね。

以上のことを踏まえて誤答例を見直してみると,まず平面αと底面EFGHの交線は直線FRです~
DR⊥FR かつ HR⊥FR であったならば ∠DRH=θ として構わないわけですが,
実際はそうなっていないわけです。


rr3.jpg



直線DQと底面EFGHの交点をSとしましょう。このSは3直線DQ,EH,FRの交点でもあります。
このときできる四面体DHRSに着目してみます~



rr4.jpg



Hから辺SRへ下した垂線の足をIとします。 DH⊥底面EFGH かつ HI⊥SR なので,
三垂線の定理より DI⊥SR が成り立ちます~
したがって, ∠DIH=θ ということになりますね。
 によって答えが求められます。
三平方の定理などを駆使して求めても良いですし,座標を導入してみるのも有効な手段です~ hamster_2.gif
尤も,座標を導入するなら法線ベクトルのなす角を考察するほうが楽ですけどね。

そこで,Fを原点とし, G(1,0,0), E(0,1,0), B(0,0,1) であるような座標を導入してみます。
法線ベクトルに着目して解くのは正答例でやることにして,一旦  から求める方針を実践してみます。
誤答例にあるように  なので, です。
xy平面において直線FRの方程式は  となるので,これと垂直な直線HIは
点 (1,1,0) を通る傾き2の直線すなわち y=2x-1 です。

rr5.jpg


2直線FR,HIの交点としてIの座標を求めると  になります。



より, が得られます。したがって,



が得られます~

それでは法線ベクトルに着目した解法も見てみましょう~ isona.gif






rr7.jpg
rr8.jpg







 
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

図もキレイで、分かりやすい解説でした!

No title

コメントありがとうございます~

ツールでも使って図を描けばもっとキレイなんですけどね~
手書きで済ませてる辺りまだまだ手抜きだったりします~v-40
非公開コメント

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