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2016年後期東北大入試理系数学 第5問

2016.08.19 11:09|大学入試問題
どもども。


誤答から学ぶシリーズの集中投稿が続いているところですが
たまには息抜きにやり残していた問題を眺めていきます~

今回は今年の東北大後期入試の理系数学第5問を見てみます~


問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90


2016tok5.jpg


複素数平面の単元からの問題です~
(1)は4点が同一円周上にあるための条件の証明問題です~
zの虚部は正,wの虚部は負という仮定なので,4点 ±1,z,w はすべて相異なる点です。
4点のうち3点までは同一直線上に並ぶことはあり得るので,必ずしも4点を頂点に持つ四角形ができるとは限りません。
また四角形が出来たとしても凹四角形になってしまうこともあります。
4点が同一円周上にあるという仮定のもとでは必ず凸四角形が出来ますが,
逆を示すときには凸四角形の存在を勝手に仮定してはいけません。

4点が同一円周上にあることを述べるのに用いられる事実は幾つかありますね。
4点を頂点とする四角形が円に内接することを示す方向では,

 対角の和が180°
 1つの内角とその対角と隣り合う外角が等しい
 トレミーの定理の逆


のような方法があり,内接四角形を考えなくても

 円周角の定理の逆
 方べきの定理の逆
 4点から等距離にある点の存在を示す


のような方法があります。
どの方法を選ぶか,そしてそれをどういう手法で実証するか,の選択を誤ると恐ろしく計算量が増えてしまいます。
簡単に処理できる方法も大変な方法も両方試してみたいと思います~ akaname.gif

まずは最も自然と思しき発想で処理してみましょう~
最終的に複素数の比が負になるという形で必要十分条件を出さなければいけないので
複素数の偏角の性質を用いて攻めてみます~
∠CAD+∠CBD=π であれば良いのでこれを偏角の式に翻訳してみましょう~



の関係式を用いていきます。偏角に関しての等式は2πの整数倍の差は無視して成り立つものであることは注意です。
mod 2π で考えているようなものです。


ss1.jpg


というわけで証明ができました~
似たような攻め方を円周角の定理の逆に着目してトライしてみます。
∠CAB=∠CDB や ∠BCD=∠BAD はそれぞれ4点が同一円周上にあることの必要十分条件になりますが,
これを偏角と結びつけていきます~ dango.gif



ss2.jpg

ss20.jpg

ss19.jpg



ところで,ここまでの考察をよく見てみると,4点が同一円周上にあるための必要十分条件は



よりもっと緩く,  が実数であるということが言えたりします dog_happy.gif


ss18.jpg

次は偏角への着目から一度離れてトレミーの定理の逆に着目してみます。
円に内接する四角形ABCDにおいて CD・AB=AC・BD+BC・AD が成り立つのがトレミーの定理であり,
CD・AB=AC・BD+BC・AD が成り立つ四角形は円に内接するというのがトレミーの定理の逆です。

任意の複素数 a,b,c,d に対し, (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
が成り立つことに着目し,両辺の絶対値をとったあとで三角不等式を用います。

ss6.jpg



ss5.jpg




それではここからは計算が大変なアプローチ法といきましょう~ dog_angry.gif

再び対角の和が180°になることに着目するのですが,偏角の性質を用いるのではなく
三角比による解法として余弦定理を使って cos∠ACB=-cos∠ADB が成り立つことを見てみましょう~



s7_20160817114815858.jpg
ss7.jpg

ss8.jpg


そこそこ見栄えのいい関係式が出てきました。
今度は  側を変形していきます~~ hiyo_ang2.gif

  かつ  


と同値なわけですが,実は前者の式だけで先程の1番の条件式と同値になっています。


ss9.jpg

s10_201608171148177b5.jpg


次は4点A,B,C,Dから等距離にあるような点が存在することを確かめてみたいと思います~
AとBは虚軸に関して対称な位置にあるので,4点を通るような円があるとすればその中心は虚軸上にあります。
そこで,線分CDの垂直二等分線と虚軸の交点 αi を求め,|z-αi|=|1-αi| が成り立つための
必要十分条件を見てみます~


ss11.jpg
ss12.jpg


先ほど出てきた1番の条件式と同値なのだから上で挙げた議論を繰り返すことで  
と同値であることが言えることになります~






それではそろそろ(2)に進むことにしましょう~


(1)で示した一般論を用いて具体論を展開する流れですね。
 の場合を考えていきます。wの虚部が負であることを確かめた上で(1)の結果を使っていきましょう~
なるべく簡単な形を目指して式変形していきたいと思います korobo.gif
そのため途中で z-1=p+qi (p<-1,q>0) の形の変数変換も施してみます。


ss13.jpg
ss14_201608200342206a7.jpg


上の方で出てきた条件式1番からスタートしたらどうなるんでしょう。試してみます。



ss15.jpg
ss16_20160820034221b9d.jpg


計算過程はそれほど長くはないものの重い計算ですね。

また,はじめの解法の途中で出てきた,  の式においてこの段階で変数変換を施してみたら
どうなるか試してみます。


ss17.jpg


やはり大変ですね。
ただ攻めるのではなく工夫を施すというのが(2)のポイントになりそうです~ kojika.gif
















    
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コメント

解答の最後の部分。
円の半径が2なので、
|z-1|=4ではなく、|z-1|=2だと思います!

No title

コメントありがとうございます~

ほんとだーーーーー
ありがとうございます,さっそく修正しておきました~
長い記事なのによく見付けましたね!
投稿したばっかだったので多くの人の目に触れる前で良かったです。
こういう長い記事だと書き間違いがあっても気づかれないまま過ぎ去られていくことも多そうで
過去記事にも人知れず混じってる誤植が多分あるんだろうなあとか思うと憂鬱ですね~
非公開コメント

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