プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

誤答から学ぼうシリーズ・線分の交点の位置関係

2016.08.22 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

「その図はおかしい」3連続の2発目ですが,「位置関係がおかしい」タイプのものを見てみます~
交わらないはずの線分が交わっている,円の内側にあるはずの点が外側にある,など
図形どうしの位置関係に不具合のある図を元に考えてしまったせいで誤答が生まれるというものです。


問題: AB=AC=3, BC=5 であるような△ABCがあり,
BCを20:3に内分する点をD,ACを4:1に内分する点をEとする。
また,∠Cの二等分線と線分BEの交点をP,線分BE,ADの交点をQとする。
このとき,2点P,Qの間の距離を求めよ。



それでは誤答例です~

tt4_20160822215607d99.jpg
tt5.jpg
tt6.jpg


とても大変な計算の末に答えを導きましたが,残念ながら不正解です~
最後の2次方程式を解いた際に x=0 の方は却下してしまいましたが,実は x=0 こそ正しい数値でした。
直線AD,BE,および∠Cの2等分線,この3つの直線は1点で交わります。
よって,PとQは本当は同一の点だったことになり, PQ=0 だったのです~ teng.gif

このことは例えばチェバの定理の逆などから確かめることが出来ます。
∠Cの2等分線とABの交点をFとすると,角の2等分線の性質から AF:FB=CA:CB=3:5 なので



が成り立っているから確かめられるわけですね zashiki.gif
大変な計算は何も要らなかったですね。

∠Cの2等分線とADの交点をRとすると,角の2等分線の性質から 

であって,また誤答例にあるようにメネラウスの定理から AQ:QD=23:5 なので,
この2つの比の比較からもP,Q,Rの一致が確かめられますね。

何かしらの計算をするまではP,Q,Rの位置関係は定かではないわけなので,
試しに描いてみた図には確証がないということをしっかりと認識した上で議論を進めていく必要があるんですね。
誤答例にあるような「 x>0 であるから」などという勝手な先入観には注意したいです~
誤認を生まないように正しい位置関係を把握する作業からスタートすればよかったですね aicon156.gif

なお,実際は不適だった  は何を表す値だったかというと,
下図における  の長さを表しています。
このような余計なものが出てくることがあるという話題は先日余弦定理がテーマのときに取り上げましたね。
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-339.html

tt8.jpg


それでは正答例です~ aomushi02.gif




tt7.jpg






                           tt3.jpg






   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

今回のは最近模試でやったやつなのですんなりと理解出来ました~!



すみません、質問です(´._.`)

一辺の長さが1の正四面体abcdにおいて、辺bc.db上にそれぞれ点P.Qをbp=dq=x(0<x<1)となるようにとる。

また、辺ba上にbt=xとなるように点tをとる。

で、三角形pbqの面積は、√3x(1-x)/4 と求めましたが、四面体tbpqの体積がV=-√2(x^3-x^2)/12と、どう出せるのかわかりません。


お時間ありましたら、求め方だけでも教えて欲しいです。
よろしくお願いしますm( _ _ )m

No title

コメントありがとうございます~

元々の正四面体の体積との体積比を考えてみてはいかがでしょうか~
元々の正四面体の体積をWとおいておきます。△BCDを底面とみなしておきます。

四面体ABPQは△BPQを底面とみると,正四面体ABCDと比べて底面積が x(1-x) 倍になっているので

四面体ABPQ=x(1-x)W

また,今度は四面体ABPQの底面を△ABPと見て,四面体TBPQの方は△TBPを底面と見ると
底面積の比は 1:x になっているので,

四面体TBPQ=x・(四面体ABPQ)=x^2・(1-x)W

こういう方針で考えてみてはいかがですかv-19
非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。