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誤答から学ぼうシリーズ・鋭角三角形とは限らない

2016.08.23 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


「その図はおかしい」3連続の3発目,「考えられる図のパターンが1通りではない」というパターンを見てみます~
これは特に説明不要だとは思いますが,条件を満たす状況が複数パターン考えられるのにもかかわらず
特定の状況のみを考えて他を見落としてしまったためにミスが生じるというタイプのものです~



問題: △ABCが与えられていて,頂点Bから直線ACへ下した垂線の足をH,頂点Cから直線ABへ下した垂線の足をIとし,
また辺BCの中点をMとする。  が成り立つとき, cos A の値を求めよ。



それでは誤答例です~


tt9.jpg

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tt10.jpg




同一円周上にある4点を見つけてうまく円周角と中心角の関係を利用して答えを求めています~
それ自体は良いのですが,もっと根本的な部分で大きな見落としてが生じています。
それが今回のテーマなので完全にネタバレしているわけですが,図が1通りには定まらないんです~ bakezouri.gif

誤答例でははじめから△ABCは鋭角三角形という前提で話が進んでいますね。
直角三角形だったり鈍角三角形だったりする可能性はないのでしょうか。
そういう想像力は持たなければいけません~

というわけで∠Aが鋭角,直角,鈍角すべての可能性を考えてみましょう~
∠Aが鋭角である場合は上の誤答例の通りです,…と言いたいところですが,
∠Cが直角の場合,鈍角の場合というものも考えられます。
BとCの対等性から∠Bが直角,鈍角の場合は端折れます。

∠Aが直角だったらどうでしょう。この場合,A,H,Iが全て一致してしまいますね。
これでは  が成り立ちません。
よって,直角の可能性は排除して構いません~

では鈍角だったらどうでしょうか。
この場合,HもIも△ABCの外部に存在します。

tt14_20160822134322f82.jpg

誤答例に出てくる図におけるBHとCIの交点にあたる位置にAがあります。
HとIをの位置も入れ替えたようなものになっていますね。
このような状況が考えられるため,∠Aが鈍角である場合というのは排除できません~ oni.gif


誤った先入観に支配されないようにするというのは数学の問題を解くときにはとても重要なことです。
まぁそれは数学の問題に限らず人生で起こる様々な問題について言えることですけどね。

それでは正答例です~ kaeru0-01.gif


tt16.jpg

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tt17.jpg

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