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誤答から学ぼうシリーズ・逆関数のグラフとの共有点

2016.08.29 18:29|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini


今回は逆関数のグラフに関係する誤答を見てみます~


問題: (1)関数  のグラフとその逆関数のグラフの共有点の座標を求めよ。
(2)関数  のグラフとその逆関数のグラフの共有点の座標を求めよ。




それでは誤答例です~

uu3.jpg







一般に,関数  のグラフが点 (p,q) を通っているとき, x と y の立場が入れ替わったものである
逆関数  のグラフは点 (q,p) を通ります。
このことから,2つのグラフは直線 y=x に関して対称であることが言えます hiyos.gif
誤答例ではこのことを利用したアプローチを試みているわけですが,(2)では失敗しています~

(1)について,  とその逆関数  のグラフを図示すると以下のようになります。





uu1_20160829183511939.jpg





確かに2つのグラフは直線 y=x に関して線対称になっています。
このため,2つのグラフの共有点は直線 y=x 上にあります。
ということは,2つのうちどちらかのグラフと直線 y=x の共有点として捉えて答えを出すこともできるわけです m_0185.gif
このアプローチの良いところは,解かなければいけない方程式の次数が下がることです。
元々の関数と逆関数とをペアにして方程式を立てると最終的に4次方程式を解くことになってしまいますが,
直線 y=x との共有点を考えると2次方程式で済むのです~


これと同じことを(2)でも試みてみたわけですが,こちらではその作戦が通用しません。
それはグラフを見てみれば一目瞭然です~ pakukapa.gif





uu2_2016082918351194a.jpg





(1,0) と (0,1) もまた2つのグラフの共有点になっています。
このように直線 y=x 上にない共有点が存在する場合は先程の作戦は使えないわけです。
したがって,はじめにグラフの様子を調べてみるなどして, y=x 上にしか共有点が無いぞ!ということを
しっかり確認できた場合にのみ今回のアプローチ法は有効に作用すると言えそうです~

(2)の場合は図を描いてみるだけで (1,0) と (0,1) には気付けるので,
残りの交点の座標  を求めるために y=x と連立するというのはありかもしれないですが,
 の範囲には共有点がないことの説明をどうするかという問題があります。
図から明らかじゃないか!と思うかもしれませんが,「その図のようになる」ことの根拠がどれくらいあるのかという
部分は大切なことです。例えば  の範囲では2つのグラフはともに右下がりの曲線に
なっていますが,常に  を満たすことは自明ではありません。
はじめから正しい図を見てしまったから自明に見えるだけです。
正しい図を見てないところから考え始めたら,もしかしたらどこかで両者は等しくなってしまうかもしれないという可能性を
無視するわけにはいきません。
ちょっと計算してみればそれはあり得ないことは分かるのですが,その「ちょっとの計算」をスルーせずに大切にしたいものです。
そこで,(2)では共有点が3個しかないことを裏付ける意味でも2つの曲線の方程式を連立して解いておくと良いでしょう。

なお,(1)(2)では有限個の共有点があったわけですが,無数に共有点がある場合もあります。
関数 y=-x を考えると,その逆関数は自身と一致します。
よって,直線 y=-x 上の任意の点が逆関数のグラフとの共有点になっています tankoro.gif
反比例を表す  なんかも同様のことがいえますね。


それでは正答例にいきます~



uu4.jpg
uu5.jpg
uu6.jpg







  
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