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誤答から学ぼうシリーズ・(等差数列)×(等比数列)型の数列の和

2016.08.31 01:51|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini


今回は数列の和の計算に関する話題です~


問題:  を計算せよ。



それでは誤答例です~


uu7.jpg



n≧1 に対して, ,  とおくと,
数列  はそれぞれ等差数列,等比数列です。
 を計算する問題なので,これは(等差数列)×(等比数列)型の数列の和を問われているわけです。
このタイプの和については,上で挙げたような計算で求めるというのがスタンダードな手法です~ cutlet.gif
つまり等比数列部分の公比を掛けたものと引き算をすると,等比数列の和の形が出現するという点に着目します。
なお,今回は特に触れませんが微分を用いたアプローチもあります。

さて,上の解法のどこに問題点があるのでしょうか。
参考書や問題集でよく見かけるもののはずですが~ dog_angry.gif





ここの箇所に注目してみましょう~



の部分が等比数列の和になっています。
具体的には初項4,公比2の等比数列の初項から第 n-1 項までの和ですね。
階差数列の公式のときなどと同じですが,これだと n=1 のときに都合が悪いんです。
初項から第0項までの和というのはナンセンスですね shm01.gif



は n≧2 のときに意味を持ちます。よって,「 n≧2 のとき」という前置きをしておくべきです。
n=1 のときは  となっていて,中央の等比数列の和のかたまりが
何もない状態になっているので確かに n≧2 のときとはビミョーに違う現象が起きています。
参考書や問題集などを見てみるとこのタイプの問題では「 n≧2 のとき」の記述をスルーしているものも
割と多い印象を受けます~

 であるような数列  の初項から第n項までの和だよ,
というやや強引な見方をすれば切り抜けることも出来そうな気も一瞬しますが,その後で



という計算をしていて,やはり初項4,公比2の等比数列の初項から第 n-1 項までの和を考えているので
気持ち悪さは結局残りますね。

   (←これは n=1 でも成り立つ)

とか書いてあれば,「あ,一応気にはしてくれたんだな」ってのは伝わりますが~
n=1でも成り立つことが暗黙の了解とされていることが気持ち悪いのだから,
その点を何かしらの形で触れてあると気持ちが良いのですね。

自然に考えれば等比数列の第 n-1 項までの和なんだろうけど,実は何かしらの別ルート(類推→帰納法など)から
導き出したものだから「 n≧2 のとき」は必要ないよ!と言って立ち塞がるのだとしたら,
じゃあ一体どういうルートを辿ったのかについて興味があるので言及してほしいです~
それが無ければ最も自然な解釈をされても仕方がありませんね。
その別ルート論法を使えば,例えば初項が3,階差数列の一般項が 2n-1 であるような数列 の一般項を



と計算して,「一見すると階差数列を用いた公式を使っているように見えますが実は使っていません,別ルートなんです。
だから「 n≧2 のとき」は要りません」という,  さえ書かなきゃ「 n≧2 のとき」が
免除される的な発想が生まれてしまいそうです。果たしてそのような答案はどうジャッジされるのでしょう~
評価基準は色々あるでしょうけれど,個人的にはさっき述べたように「 n≧2 のとき」の代わりに
どういうルートを辿ったのかの言及がほしいですね。それが無いと,内容は正しくても説明不足で減点されても
文句は言えまい,といったところでしょうか~
(注:「 n≧2 のとき」を回避する計算例はこちら




また,「 n≧2 のとき」に限定するのを避けるため,はじめの 5・1 を 3+2・1 に分離して
2・1 を等比数列の和の部分に組み込んでしまうという作戦もしばしば見られます。



に進化しますが,このようにするだけで初項2,公比2の等比数列の初項から第 n 項までの和に変わってしまうので
n≧1 で成立する等式になってしまうわけです~ hamu02.gif


それでは正答例です~



uu8.jpg
uu9.jpg
uu10.jpg
uu11.jpg
 




のように書くか,



uu12b.jpg

uu13.jpg



のように書いておくと良いでしょう~ okojyo02.gif





   
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