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誤答から学ぼうシリーズ・項の打ち消し合いを利用する和の計算

2016.09.11 20:41|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

今回も数列の和の計算に関するテーマです~


問題:  を計算せよ。




それでは誤答例です~


vv1.jpg



部分分数分解による変形を施した後に項の打ち消し合いが起きることに着目して和を計算するという
とても定番の計算問題です~ dog_shy.gif
ただし,どのような計算過程を辿るかによって,「 n≧3 のとき」,「 n≧2 のとき」などが付いたり付かなかったり
してしまうという点について考えていきたいと思います~

まず上の誤答例なのですが,途中過程で  という項が出てきています。
この項は n=1,2 のときには意味を為さず, n≧3 で意味を持ちます。
そのため,「 n≧3 のとき」という前置きがあるべきです dokuro.gif

n=1,2 のときは次のような計算式になっています。

vv7.jpg



つまり,誤答例で行っているような項の打ち消し合いは起きていないわけです。
相殺する項たちは n≧3 のときに出現します。
というわけで,確かに n=1,2 のときは n≧3 のときとは違う様子を見せるようです drink_hottea.gif
 

ここで,この問題のよくある計算例を2つ見てみることにします~


vv2.jpg


    vv3.jpg


式の書き方は少し違っていますがどちらも  が打ち消されていることを述べています。
打ち消し合いが起こるのは n≧3 のときなのだから,このような書き方をするときにも「 n≧3 のとき」が必要だ,
とする考え方が1つあります。
「 n≧2 のとき」と書いてある場合もあります。打ち消し合い自体は n≧3 で発生するのだけれども,
最終的にはじめの方の  と終わりの方の  のみが残る
という点では項が2個以上ある n≧2 で成り立つからという意味合いかと思います。
  型の和の計算,つまり隣接2項間で打ち消し合いが起こるタイプでも 
実際に打ち消し合いが始まるのは n≧2 のときではあるのですが,
n=1 のときを特別視することは殆ど無く, つまり「 n≧2 のとき」と「 n=1 のとき」に分けて議論したりせず
一括で n≧1 で成り立つというノリで書かれることが殆どですね。それと同じような感覚ですかね。
その感覚に基づけば今回の計算は「 n≧3 のとき」ではなく「 n≧2 のとき」にするのはなかなか自然に思えてきます kawauso.gif


さて,上の計算では打ち消し合う項を青斜線で印を付けていますが,この斜線はオフィシャルな数学記号ではありません。
文脈上,項の打ち消し合いを表しているんだろうということは容易に想像できるわけですが,
明言はしていません。項の打ち消し合いを表しているに違いないと自然に解釈して n≧3 とか n≧2 がなきゃイカン
とする考え方ができる一方で,オフィシャルな記号ではないのでその存在を無視して次のような書き方をしたものと
同等だと見ることも出来るでしょう。

vv4.jpg




等号で繋がれた各辺は n≧1 で成り立つし,どのような過程を経て 
に到達したのか判断できないので n≧3 とか n≧2 が必要だと一方的に決めつけるのは良くない,
という考え方も出来ます。

次のような書き方をされると更に困ってしまいますね。


vv5.jpg






まぁこの辺りともなると,今度は説明不足になるかどうかという観点での議論が必要になってきそうですが~ kaeru_yodare2.gif


次は「+……+」という表記について考えてみましょう~
これは,視覚的に非常に分かりやすくて良い反面,数式の表す内容を曖昧にする面も持ち合わせています。
  という式を    の意味に受け取れば n≧1 で意味を持つ
ことになりますが,    とみなせば n≧2 で意味を持ち,    とみなせば
n≧3 で意味を持つ式になってしまいます。誤答例では打ち消し合う項のかたまりをΣ記号で表したため,
n≧3 で意味を持つ式になってしまったわけです。数式の表す内容を曖昧にしないために「+……+」を用いずに
Σ記号を用いて表記すると内容が明確になり良くなるのですが,その代わりその式が意味を持つ n の範囲などには
注意を払わなければいけなくなります。

次の書き方はどうでしょうか。誤答例のパターンを各辺が n≧1 で成り立つ形に書き直してみたものです。
ただし,打ち消し合いの部分は曖昧にすっ飛ばしています。


vv6.jpg





打ち消し合いの部分を丁寧に書こうとするとどうしても n=1,2 の特殊性に頭を悩ますことになるので
端折ってしまったわけですが,このような書き方はつまり「 n=1,2 の場合も成り立ちますよ」を暗黙の了解という形で
こっそり内包させてしまうというスタイルに見えます kasabake.gif
答案としてはなんだか小賢しいです。

それにさっき挙げた


vv5.jpg




という書き方と実質的にほとんど差がありません。

結局のところ「 n=1,2 のときがちょっと特殊」という煩わしさのせいでさっきから悩んでいるわけなので,
それさえ無ければ何も悩まずに済みます。
n=1,2 でも成り立つような式変形の仕方を考えてみたいですね kojika.gif
そこで次のような計算過程を考えてみます~


vv8.jpg

だとか


vv9.jpg



これならば n≧1 で成り立ちますね。
煩わしさから解放されました korobo.gif

やり方次第では n=1,2 を特別扱いする必要が無いということなので


vv5.jpg


という書き方に対してますます 「 n≧3 とか n≧2 が必要だ」とは決めつけられなくなってしまった事にもなります kudan.gif


どういう計算過程を辿ったとみるのが自然か,が一概に決められない問題だと思うので,
答案を書く際には n≧3 か n≧2 か n≧1 かについては「式が意味を持つか持たないか」という点に注意して,
あとは自分がどういう計算過程を辿っているのかという「自分の中の論理」に基づいて判断すればよく,
なんかビミョーだな~と思われるような書き方にならないようにすればよいでしょう。
過程が端折られているものに対しては論理よりむしろ「思考過程が省略され過ぎか否か」が焦点になりそうです~
「+……+」のせいで曖昧さが生まれてるものなどはもはや読み手側の感覚に委ねられてしまう部分も出てきそうです。
ビミョーな書き方をすると読み手の感覚次第であらぬ減点をされてしまう事も無くは無いかもしれません。
まぁ説明が足りていないからビミョーなのであって,ビミョーにならないよう努めればよいのです~ m_0032.gif

次のように書けば    型の和の計算に直すことも出来ます。
それを1つの正答例として挙げることにして今回は終わろうと思います~ m_0191.gif




vv0.jpg





  
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