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誤答から学ぼうシリーズ・確率漸化式

2016.09.12 01:37|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ わんちゃんmini


今回は確率漸化式に関連する誤答です~


問題: xy 平面上の動点Pが与えられており,Pは次のルールに従って移動する:

(ア) 時刻 t=0 にはPは原点 O(0,0) の位置にある。
(イ) 非負整数 k に対して,時刻 t=k にはPは O, A(1,0), B(0,1), C(1,1) のいずれかの位置にある。
    特にOまたはCにある場合は,時刻 t=k+1 にPは等確率でO,A,B,Cのいずれかにある。
    また, t=k にPがAにある場合には,時刻 t=k+1 にPは等確率でA,Cのどちらかにある。
    更に, t=k にPがBにある場合には,時刻 t=k+1 にPは等確率でB,Cのどちらかにある。

このとき,自然数 n に対し,時刻 t=n にPの位置がCである確率を求めよ。






それでは誤答例です~


vv10.jpg

vv11.jpg



幾つかの点を行き来する動点のn秒後の位置に関する確率を問う問題というのは頻出ですね aobara.gif
確率漸化式を立てて解くという手法と相性が良く,誤答例でも用いています~
答えは n に依存した値になることが多いのですが今回の問題では答えの数値が定数になってしまうという
面白い結果になっています~
実は今年の一橋大の数学の問題が元ネタになっています。設定を変えてみただけです。
前回,前々回と n=1,2 のときなどはじめの辺りの n だけ特殊な状況になっているというものに関する
ネタだったのですが,なんと今回もそのパターンだったりします。
n=1 の場合を軽視してしまうと痛い目に遭ってしまうぞというような話です kaeru_cry.gif
つい数行上で答えの数値が n に依らない定数になってしまうみたいなことを書きましたが,
正確には n≧2 においては常に一定の値になっていますが, n=1 のときだけ別の値になっているんです。

詳しく見ていくことにしましょう~
時刻 t=n におけるPの位置がO,A,B,Cである確率をそれぞれ  とおいて
連立漸化式を立てていくという方針を取りましたが,計算を進めていった結果,  を得ています~
ここで注意したいのは, n≧1 に対してこの計算結果から分かることは, n≧2 に対して  
が成り立つということです。  という結果は含んでいません。
ただ,  なので確かに   は成り立つようです~
これにより n≧1 に対して   が成り立つことが言えました。
ところが,  についてはこのようなことにはなりません。誤答例ではここを失敗しました。
その後の計算から  が得られますが,これから分かることは n≧2 のときに 
が成り立つということであって n=1 で成り立つ保証はありません。
実際  だったので,確かに n=1 のときだけは例外のようですね。
同様に  についても, n≧2 のときは  が成り立ちますが, n=1 では 
になっています rabi_happy.gif


そんなわけで,一般に任意の自然数 n に対して  が成り立つならば
任意の自然数 n に対して  が成り立つというのは正しいのですが,
任意の自然数 n に対して  が成り立つならば任意の自然数 n に対して  
が成り立つというのは正しくありません。
こういう類のミスが出ないように十分に注意しましょう~ tanuki.gif

それでは正答例です~~~







vv12.jpg
vv13 1
vv14.jpg
vv13 2





  
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