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誤答から学ぼうシリーズ・余事象の確率

2016.09.17 12:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 27b503c4e00011e2ad9722000a9e2977_7

今回も前回に引き続き確率の誤答です~


問題: 8枚のカードがあり,それぞれには1から8までの整数のうち1つが書かれていて,どのカードに書かれている数字も異なる。これらのカードを袋に入れて,その中から無作為に3枚のカードを同時に取り出すとき,取り出したカードに書かれているどの2数の差の絶対値も3以上である確率を求めよ。


それでは誤答例です~

ww1.jpg



前回に引き続き確率の問題ですね。
余事象に着目してみたようですが,残念ながら余事象を捉え間違ってしまったようです~
「どの2数の差の絶対値も3以上」という条件を否定するとどうなるか考えてみましょう。

誤答例にあるように取り出した3枚のカードの数字をそれぞれ a,b,c (a<b<c) とおくと
b-a≧3 かつ c-b≧3 かつ c-a≧3
が成り立てば良いことになります。ただし, b-a≧3 かつ c-b≧3 が成り立てば自ずと c-a≧3 も
成り立ってしまうので,この事象は
b-a≧3 かつ c-b≧3
と言い換えて構いません。これを否定すると,
b-a<3 または c-b<3
になります。「かつ」が「または」に替わることに注意です~
誤答例における失敗の原因はここにあります。余事象を
b-a<3 かつ c-b<3 かつ c-a<3 ⇔ c-a≦2 ⇔ c-a=2
と捉えてしまいました。

はじめから「かつ」や「または」などの語句を含む形で条件が与えられていればミスは回避できたかもしれませんね dog_angry.gif
出題時点では余事象を間違えやすい表現の仕方をしていました。

さて,「任意の~」「すべての~」という条件は否定すると「少なくとも1つの~」のような表現に置き換わるのでしたね。
例えば,「任意の x に対して条件Aが成り立つ」の否定は「少なくとも1つの x は条件Aを満たさない」
つまり「条件Aを満たさない x がある」ということになります。
では今回の問題の条件は
任意の2数の差の絶対値も3以上
と言い換えられるので,その否定は
差の絶対値が3未満であるような2数がある
ということになり, b-a<3 または c-b<3 と同じ内容になります。
このように考えても良かったわけですね kaeru_ang3.gif

では正しく余事象の確率を求めていくとどうなるのでしょうか,検証してみましょう~
注意したいのは「AかつB」型の事象と「AまたはB」型の事象では前者の方が取り扱いしやすいことが多いということです。
元々の条件は「AかつB」型だったのに余事象は「AまたはB」型です。
実は余事象を考えず素直に考えていった方が楽なんです。そんなことも頭の中に置いておきつつ考えてみます。
bの値として考えられるものは2,3,4,5,6,7です。
b=2 のときは, a=1 は確定で, c は3,4,5,6,7,8の6通りあるので, 1×6=6(通り)
b=3 のときは, a=1,2 で c=4,5,6,7,8 なので, 2×5=10(通り)
b=4 のときは, a=1 ならば c=5,6 のどちらか, a=2,3 ならば c=5,6,7,8 なので,
 1×2+2×4=10(通り)
b=5 のときは, a=1,2 ならば c=6,7 のどちらか, a=3,4 ならば c=6,7,8 なので,
 2×2+2×3=10(通り)
b=6 のときは, a=1,2,3,4,5 のいずれかで c=7,8 のどちらかなので, 5×2=10(通り)
b=7 のときは, a=1,2,3,4,5,6 のいずれかで c=8 は確定なので, 6×1=6(通り)

よって, 6+10+10+10+10+6=52(通り) となり,求める確率は



となります~ pakukapa.gif
下の正答例と比べても余事象を使った解法の方が面倒くさいのが分かります。

というわけで,余事象を捉える際は条件の否定の仕方にくれぐれも注意をしましょう~
それでは正答例です~




ww2.jpg
ww3.jpg






  
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