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2012年東工大入試数学 第1問その1

2012.10.18 23:14|大学入試問題
どもども。


今回からは今年の春の東工大入試の数学の問題を解いていこうと思います~もなたんくりmini

問題は大きく6問。
大問1は易しく,大問2,4,5あたりは標準レベル,
大問3,6あたりは計算量が多くてちょっと大変。

そんな感じのセットになってますyotuba12.gif

1はしっかり倒して,2,4,5あたりもなるべくしっかり攻略して
残り3,6を可能な限りで打ち砕く。そういう戦略がいいでしょうかねー


今回取り組むのは大問1であります。

問題はこちら
mon1_20121018195000.jpg

設問は2つありますが,(1)はベクトル,(2)は確率の問題で,
それぞれ独立の問題です。
どちらも決して難問ではないはずなので,くれぐれもミスを出さないように
しっかり攻略しましょう~

今回は(1)のベクトルの方をやっていきますねkaeru0-02.gif


正四面体に関する問題で,内積を1個計算するだけのシンプルな問題です。
解法はいくつか考えられますが,簡単な解法でさくっと瞬殺するべきだと思いますdog_happy.gif




 位置ベクトルを利用する

空間ベクトルは1次独立な3個のベクトルを使ってその1次結合で表示できます。
正四面体の問題では大体の場合,どれか1個の頂点を基点にして,
そこから残り3個の頂点を表す位置ベクトルを1次独立な3個のベクトルとして
指定することが多いですよね。
図を描いたときに上にある頂点を基点とすることがなんとなく多いですね

a1_20121018194530.jpg

ベクトルaのことを(→a)のように書くことにしますね。

(→OA)=(→a),(→OB)=(→b),(→OC)=(→c)

とおくと,(→OD)と(→OE)は(→a),(→b),(→c)の
線形和で書けます。
線形和とか1次結合というのは,
p(→a)+q(→b)+r(→c) の形の式のことです。


いま問われているのは,(→DE)・(→AC) なわけですが,
(→DE)と(→AC)を (→a),(→b),(→c)を使って表示すれば
あとは(→a),(→b),(→c)たちの間の内積の関係式の計算になっちゃいます。

正四面体の各面は正三角形なので,(→a),(→b),(→c)たちどうしの内積は
簡単に求められますねhaibisukasu-mini01.gif


a2_20121018194530.jpg

特に難しいところもない単純な問題のようですねkusyami01.gif



 いくつかの求めやすい内積を利用する

位置ベクトルを利用しない別解として,簡単なものとしては
(→DE)・(→AC)の式変形で,求めやすい内積の足し引きにしてしまうものが考えられますnezumi02.gif

たとえば,点EはOCの中点で,△OACは正三角形なので
∠EAC=π/6という分かりやすい角度になっています。
EA=√3/2という長さもすぐ分かります。
よって(→AE)・(→AC) のような内積はすぐ求められますね。
(→AD)・(→AC) なんかもすぐ求められます。
この2つの内積が分かれば,問われている(→DE)・(→AC) も
すぐ分かってしまいます~~

a3_20121018194531.jpg


他にもこんな変形を利用することも出来ますね~mushi.gif

a4_20121018194531.jpg




 (→DE)と(→AC) のなす角のcosを求める

ここまで見てきたように,あっさり解ける問題なんですが,
あっさりじゃない解き方も当然あります。
せっかくなのでそういう方法にもトライしてみましょう

(→DE)と(→AC) のなす角をθとすれば,

(→DE)・(→AC)=|(→DE)|×|(→AC)|×cosθ

が成り立ちます。|(→DE)|,|(→AC)|,cosθの値が分かれば
内積が求められますね!
|(→AC)|=1は分かっているので,実質2つの値を求めればOKです。

線分DEと線分ACはねじれの位置にあって,
なす角を考察するのがちょっと面倒です。
そこで,始点をDに揃えるため,
(→AC)=(→DG)となるような点Gを取ります。
これで,(→DE)・(→DG)の値を求めればいいですねhamu01.gif

a5_20121018194532.jpg

ここからはしばらく幾何的考察ですs2_sum_sunflower.gif
△DOCがDO=DCの二等辺三角形であることを利用して
DEの長さを求め,
また,△DEGの3辺の長さを求めて,余弦定理からcosθを求めます。
CD⊥CFや平面ODC⊥平面ABFCなので,三平方の定理を使える箇所がいくつかあります~

a6_20121018194556.jpg
a7_20121018194556.jpg

ちなみにHは,Oから底面へ下した垂線の足なわけですが
実は△ABCの重心になっています。
知っとくと便利かも。



計算しなきゃいけない量がちょっと多いし,
立体の把握能力も必要なのでちょっと面倒でしたね。
しかしながら,空間図形の問題に慣れるためのトレーニングとして
こういう考え方で解いてみるのも良いかと思いますs2_sum_hotaru.gif



 座標を導入してみる

空間座標が設定してあると内積って計算しやすいですよね。
そんなわけで座標を導入してみたいと思います。
最後の内積の計算は簡単なのですが,
実は最初の座標設定が面倒くさいという事実に直面しますb-kaminari.gif

△ABCが平面z=0上にくるようにして,
さらに△ABCの重心を原点にとります。
原点の記号にOを使いたいので問題文でOとして使われている点をPに
変更することにします~

Aがx軸上の点になるように取ってみます。
正三角形ABCの1辺は1であることと,重心の性質から
OA=√3/3であることが分かります。
そこで,A(√3/3,0,0),B(-√3/6,1/2,0),
C(-√3/6,-1/2,0)と設定してみます~

最後にPの座標を決めなくてはいけません。
そこで1つ上の解法の前半に着目です。
ちょうど点Hが今の原点Oと一致しまして,
また,四面体の高さは√6/3です。
そのためP(0,0,√6/3)に取ることが出来ますrabi_smile.gif

あとはD,Eの座標を求めて(→DE)・(→AC)を求めるだけです!


a8_20121018194556.jpg


導入がちょっと面倒でしたね~
今回の問題は,内積を1個求めるだけの単純な問題だったので
割に合わない部分もありましたが,
もしこのあと色々と設問が続くようだったらば
座標の設定によって,その後のアプローチがしやすくなることもあり得ます。
座標を導入する,というアイデアも頭の片隅に置いておくといいかと思います~




次回は(2)をやっていきますよ~







   
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テーマ:算数・数学
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 ベクトル 内積 正四面体 位置ベクトル

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