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誤答から学ぼうシリーズ・じゃんけんの確率

2016.09.18 11:34|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 算数mini


今回もまた確率の問題の誤答です~
習いたての生徒がよくやらかすベタなものを挙げてみました~


問題: 4人でじゃんけんをするとき,あいこになる確率を求めよ。


それでは誤答例です~

ww4.jpg




(ア)の3通り,これは問題無いでしょう。
(イ)の方に誤りがあります。
誤りが生じるベタな理由としては,数え漏れによって場合の数が足りないだとか
重複カウントによって場合の数が膨れてしまうだとかがありますね。
上の誤答は前者のタイプです。
グーチョキパーすべての手が出るのだから,とりあえずはじめの3人にグーチョキパーをを1つずつ出してもらって
最後の1人は何でもいいよ~ という発想でした。
この考え方のマズいところは,「はじめの3人」が固定されてしまっているということです kaeru_yodare1.gif
4人をA,B,C,Dとしましょう。
はじめの3人A,B,Cがグーチョキパーを1つずつ出し,Dは何を出しても良い,とすれば,

A:グー  B:チョキ  C:パー  D:グー
A:チョキ  B:パー  C:グー  D:パー
A:パー  B:グー  C:チョキ  D:チョキ


などのような手の出し方がカウントされることになりますが,

A:グー  B:グー  C:チョキ  D:パー

のような出し方はカウントされずに漏れてしまいます。
A,B,Cの3人の中に同じ手を出す2人がいる場合だってあるわけです。
そこで,「はじめの3人」にあたるのがどの3人なのかという部分にも着目する必要が出てきます。
それに気付いたことによって上で挙げた誤答例は次のような解答に進化を遂げます m_0062.gif




ww5.jpg
ww6.jpg





最終的な答えが  になりました。
ごくごく順調に人生を歩んできたとするならば,高校で確率を習う頃までには4人でじゃんけんをした経験が
何度もあるのではないかと思うのですが,その経験に基いて考えるならばこの確率の数値に違和感を覚えるはずです。
随分と確率が大きいですね。これではほぼ毎回あいこになってしまいます。
そんなに効率の悪いものなら何かを決める際にじゃんけんは重宝されないでしょう。
確率の問題を解く際にはこのような違和感を察知する感覚も大切です m_0230.gif

今度の解答にも恐らく誤りがあったということなのでしょう。
実は,今度は「漏れ」ではなく「重複」が起きています。
例えば,「はじめの3人」がA,B,Cであったとすると,

A:グー  B:チョキ  C:パー  D:グー

という手の出し方がカウントされます。
一方,「はじめの3人」がB,C,Dであったときにも

A:グー  B:チョキ  C:パー  D:グー

という手の出し方がカウントされます。つまり同じ手の出し方が2回カウントされてしまいます。
上の誤答例2の考え方だと,(イ)に該当しているすべての手の出し方がちょうど2回ずつカウントされてしまうので,



とすれば正しい場合の数が出てきます
また,はじめから重複が生じないようにカウントする考え方もあります。
4人のうち同じ手を出すのが2人いるのだから,その2人の選択が  通り,その2人の手の出し方が3通りあります。
残り2人は2通りあるので,  (通り)と求められます~
あるいは,2つ出る手を●,残りの手を▲,■とすると,4人の手の出し方は
●●▲■ や ●▲●■ のような,●2個,▲1個,■1個を並べる順列に対応させることが出来ます。
●に当てはめるのがグーチョキパーの3通りなので,  として求られます。
(●,▲,■)に手を当てはめるのが 3!=6(通り) としてしまうとまたミスしてしまうので注意です。
(●,▲,■)=(グー,チョキ,パー) のときの ●●▲■ と (●,▲,■)=(グー,パー,チョキ) のときの
●●■▲ は同じものを指すからです。
これが分かりにくい場合は ●▲■ という記号を使うのは一旦やめて,グーが2人のとき,チョキが2人のとき,
パーが2人のときの3つに分けて考えるとよいでしょう。
グーが2人のときは,グー2個,チョキ1個,パー1個を1列に並べる順列を考えるとよいので  (通り) 
になり,チョキが2人のとき,パーが2人のときも同様で, 12×3=36(通り) が得られます。

なお,誤答例の中では「残りの1人の手の出し方」という表現が出てきましたが,
「**の**の**の~」みたいな「の」が3つ以上続くのはあまりよくないということも国語でよく言われることですね。
その辺りの表現も気を遣ってみるとよいでしょう~

それでは正答例にいきます~ rabi_happy.gif



ww7.jpg
ww8.jpg





  
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