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誤答から学ぼうシリーズ・複素数と不等式

2016.09.19 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini

今回は複素数を対象にした不等式を考察する問題での誤答を見てみます~


問題: 次の(1)(2)それぞれにおいて,与えられた不等式を満たす複素数 z の存在範囲を求め,複素数平面上に図示せよ。ただし, i は虚数単位とする。

(1) 
(2)
 



それでは誤答例です~



ww9.jpg


今回の問題を解くにあたって一番大切なこと,それは虚数には大小関係が定義されていないということです kaeru_en1.gif
2つの虚数,あるいは虚数と実数の間には大小が定義されていません。
例えば,「 i 」と「 1 」ではどちらが大きいか?と言われても困ってしまいますね。 
適当なルールを設けて大小を定義すること自体は可能ですが,それはその場限りのローカルルールであり,
今回の問題でも大小関係は実数に対して定義されているものだ,との前提のもとで考えていくのが自然です。
ただ,「3 i 」と「5 i 」では何となく 3 i <5 i が成り立つような気がしたりしちゃうでしょうし,
誤答例にあるように (z-i)(z-2i)<0 という2次不等式が与えられていれば i <z<2 i と答えたくなる気持ちも
分からなくはありません。
「2次不等式  を解け。 」という問題で  と答えてしまう
高校生も多いです。
このため,「虚数に大小が定義されていない」ことはそれほど注意深く教えられてはいないのかもしれないという印象を受けます。

ちなみに,「複素数=虚数」と誤認している人も多いようです。
 の中から複素数であるものを全て選びなさい,という問いに対し,
 と答える人がちょくちょく見られます。 a+b i (a,bは実数) の形で表せる数全般を複素数というのであって
虚数だけが複素数であるわけではないですね。複素数平面にもしっかり実数が含まれていますよね。

では今回の問題のような複素数に対して定義された不等式はどう捉えればよいのでしょう korobo.gif
例えば z<3 が成り立つ z とは何でしょう。
大小が成り立つためには z は実数でなければいけません。
つまり「 z は実数かつ z<3 」だということになります。
また,不等式の性質を使えば 1<2 という不等式の両辺に同じ数を加えて 1+A<2+A が成り立つことが
いえますが,この性質もまたAが実数でないと成り立ちません。 1+i<2+i は許容されません。
これを踏まえると,複素数 z,w に対して,「 z<w 」が成り立つことと「 z+i<w+i 」が成り立つことは
決して同値ではないことが分かると思います。
「 z<w 」が成り立つのは z,w がともに実数であってなおかつ z<w であるときなのであり,
「 z+i<w+i 」が成り立つのは z,w がともに虚部が-1であるような虚数であってなおかつ
(zの実部)<(wの実部) であるときなのです。

 が成り立つには,まず両辺が実数値にならなければいけません kojika.gif
z=x+y i (x,yは実数) とおくと,右辺が実数になるための必要十分条件は y=3 ですね。
この時点でもう z=x+3 i という形に絞られてしまいました。
 が実数になるための必要十分条件は
x=0 なので,実は候補の z は z=3 i しかないのです。
あとは実際に代入してみて確かに不等式を満たすことをチェックすれば良いです~ m_0100.gif

一方で(2)です。
誤答例と同じように全く気を遣わずに式変形をしていくと確かに(1)の不等式と同じものになってしまうのですが
その変形は実際には許容されないものです。
まずは  が実数になるための条件から考えましょう~

が実数になるのは  のときです。
それぞれについて  が成り立つような条件を求めると良いです。


それでは正答例です~ moon_mov.gif



ww10.jpg
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