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誤答から学ぼうシリーズ・極限の分離

2016.10.02 11:25|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。


敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90


今回は無限級数に関する誤答を挙げます~


問題:  
で定義される数列  が与えられている。
(1) 極限値  をそれぞれ求めよ。
(2) 無限級数  の和を求めよ。




それでは誤答例です~


xx1.jpg
xx2.jpg

xx3.jpg

xx4.jpg








今回のポイントは極限計算の際に勝手に



としてはいけないということです~ dog_sad.gif
 が有限の値として定まるという前提の下では上の第1式と第2式は成り立ちます。
前提なしでは必ずしも成り立つとは限りません。
したがってこのような分離を行いたいならば前提が成り立つことをしっかり事前に確認しなければいけません。
たとえ分離ができる状況でも,前提の確認を行わず無鉄砲に分離をしている場合は大きく減点されても文句は言えません。
第3式については,無限級数の和   が有限値として定まる場合においては
成り立ちます~
 とおくと,第3式は 
と書き直せます。これは第1式と同じ形式ですね。
これら一連の内容は証明するには高校の内容から逸脱してしまうため,証明無しで認めるスタイルを高校数学では
とっていますが,そのせいでイマイチ理解した感が薄くなりがちで,いい加減な極限操作をついやってしまう原因の1つに
なっていると思います。
とはいえ高校範囲を超えると言っても,大学入ってすぐやる内容なので決して著しく高度な話ではありません。
大学レベルと聞くとそれだけで物凄く高尚な話のような錯覚にとらわれてしまいがちですけどね。

今回の誤答例では連立漸化式を解いて一般項  を求めたあと,どちらも有限な極限値を持たないにも関わらず
 などの操作をやってしまったことで正しい答えが得られませんでした。
分解せずに極限をとるとしっかり有限な極限値が出てきてくれます。
そもそも今回の問題は  というかたまりの極限が分かれば十分なので,  の
一般項は不明のままでも構いません。下の正答例では2つの一般項は求めないまま和と積の極限値を出している方法も
挙げています~ ipon.gif

それでは正答例にいきます~





 xx5.jpg
xx6.jpg
xx7.jpg






次のようにも出来ます~






xx8.jpg
xx9.jpg







xx10.jpg
















   
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