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誤答から学ぼうシリーズ・和のとり方 その1

2016.10.09 12:59|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ ぺんぎんmini


今回も無限級数に関係する誤答を扱います~


問題: 自然数 n に対して,  とおく。このとき,無限級数  の和を求めよ。


それでは誤答例です~

xx11.jpg


数列  の一般項  が絶対値記号を含んでいるため,絶対値記号の外れ方に着目して
n の偶奇で分けてみたという手法を取っています。
それ自体は構わないのですが,



という計算で答えを出そうとしている部分は大問題です bakezouri.gif

今回は結果的には正しい変形ではあるのですが一般には正しくありません。
そのため,もしこのような変形をしたければ,それが正当性を持つことを示さないといけないのです。
そもそも無限級数というのは実は基本的に項を足し合わせる順番を好き勝手に変えてはいけないんです~

 とは  のことを指していますが,  は
 を指しています。この2つは一般に別の値です。


例えば,



という有名な級数(メルカトル級数)がありますが,偶数項だけの無限和と奇数項だけの無限和は
どちらも発散してしまいます。



ここで  とおきます。  が有限の値に定まるための必要十分条件は
 がともに有限の値に定まり,なおかつ両者の値が一致することです~ hiyos.gif


もしも  がともに有限の値に収束することが分かっている場合は





が成り立ちます。
 がともに有限の値に定まり,なおかつ両者の値が一致し  と等しくなるので



という計算は正当性を持ちます。
上の誤答例ではこのような吟味が欠けてしまっています。


さて,無限級数には絶対収束条件収束という概念があります oni.gif

 が有限の値に収束するとき,  は絶対収束するといいます~
前者の級数が収束すると後者の級数は必ず収束し,しかも今回の計算のような和の順序を替える操作をしても
無限級数の和が変わらないという性質があります。
今回の問題では元々の  がすべて正値なので収束するならそれは絶対収束することが言えます。
一方で,収束はするけど絶対収束はしない級数は条件収束するといいます。
条件収束の場合は和を取る順序の変更は許されません。代わりに,和のとり方を適当に変えることによって収束値を
任意の値に取り替えることが出来るという性質があります。つまり,うまく順序を変えれば1に収束させることも出来るし,
2に収束させることも出来るし,πに収束させることも出来ます。+∞や-∞に発散させることも出来ます。



ではそろそろ正答例にいきましょう~
誤答例では偶数項と奇数項に分けて議論をしていましたが,そもそも分けずに議論することも出来て
与えられた  は  を公比に持つ等比数列になっています~ zashiki.gif





xx12.jpg








  
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