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誤答から学ぼうシリーズ・和のとり方 その2

2016.10.10 00:36|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 算数mini

今回も無限級数の和のとり方について見てみます~


問題: 任意の自然数 m,n に対して




と定める。このとき,無限級数    の和を求めよ。



それでは誤答例です~



xx13.jpg



m と n の2つの文字について和を取らなければいけない問題です~
前回に触れたように無限級数は勝手に和を取る順番を変えてはいけません。
然るべき条件の下でないと許されないのでした。
誤答例では    という変形を施しているのですが
それはNGです~ eto_mi.gif
成り立つ保証がないですし,実際今回は成り立ちません。
なお,    が収束するなら和のとり方を変えることが出来ます。

もちろん有限和についてなら    が成り立ちます。

無限級数に関しては必ずしも成り立たない等式が他にもたくさんあります~











このような変形は無条件ではいずれも成り立つ保証がありません。無鉄砲に行わないようにしましょう~ kaeru_shock2.gif



今回の問題では和の順序はそのままに計算していきます~
計算を進めてみると,内側の無限級数の和が    と計算できます。
これを n に関して和を取ると前回チラッと出てきたメルカトル級数



が出てきます。
この極限値が log 2 であることは導くのは背景知識などが無いと割と大変なので
入試などの試験では大抵は何かしらの誘導がつきそうです~
正答例では等比数列の和の公式から  
が成り立つことに着目し,両辺の区間 0≦x≦1 における定積分を考えた後に n→∞ として
log 2 を得ています。
ここではもう1つ,区分求積法を用いたアプローチも挙げてみます m_0243.gif







それでは正答例です~~~




xx14.jpg
xx15.jpg
xx16.jpg








   
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