どもども。
敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~

無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです~
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます~
問題: 実数 x に対して,無限級数
が有限値に収束すような
x の範囲を求め,無限級数の和を求めよ。それでは誤答例です~

今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば

のような無限等比級数を考えてみましょう

}{2-1}&space;=\lim_{n\to\infty}&space;3(2^n-1)=\infty)
となります。同様に無限等比級数
^{n-1})
を考えてみると
^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\left\{1-\left&space;(&space;\frac{1}{\,2\,}&space;\right&space;)^n\right\}}{1-\frac{1}{\,2\,}&space;}&space;=\lim_{n\to\infty}&space;6\left&space;\{&space;1-\left&space;(&space;\frac{1}{\,2\,}&space;\right&space;)^n&space;\right&space;\}=6)
となります。このようなことから,公比 r が -1<r<1 を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます

このため,無限等比級数

の収束条件は -1<r<1 であると覚えている人がとても多いです~
しかし,この内容は実は正確ではありません。
初項 a が0の場合は特例で,公比がどんな値であろうと問答無用で

になってしまいます。
つまり収束条件は
-1<r<1 または a=0 なのです

今回の誤答例でも 初項=0 のパターンが抜け落ちているというわけです。
この例題のように,初項や公比部分に文字を含んだ無限等比級数には注意しましょう~

それでは正答例です~
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育