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誤答から学ぼうシリーズ・無限等比級数の収束条件

2016.10.19 01:44|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini

無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです~
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます~

問題: 実数 x に対して,無限級数   が有限値に収束すような
x の範囲を求め,無限級数の和を求めよ。



それでは誤答例です~

xx17.jpg


今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば  のような無限等比級数を考えてみましょう



となります。同様に無限等比級数  を考えてみると



となります。このようなことから,公比 r が -1<r<1 を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます
このため,無限等比級数  の収束条件は -1<r<1 であると覚えている人がとても多いです~
しかし,この内容は実は正確ではありません。
初項 a が0の場合は特例で,公比がどんな値であろうと問答無用で    になってしまいます。
つまり収束条件は -1<r<1 または a=0 なのです

今回の誤答例でも 初項=0 のパターンが抜け落ちているというわけです。
この例題のように,初項や公比部分に文字を含んだ無限等比級数には注意しましょう~ senpuki04.gif


それでは正答例です~



xx18.jpg
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