ほのぼの数学頑張ろう～｜誤答から学ぼうシリーズ・無限等比級数の収束条件

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誤答から学ぼうシリーズ・無限等比級数の収束条件

2016.10.19 01:44｜誤答から学ぼうシリーズ｜

どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです～

無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです～
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます～

問題：　実数　ｘ　に対して，無限級数　　 $\sum_{n=1}^\infty (x+2)(x+1)^{n-1}(x-1)^{n-1}$ 　が有限値に収束すような
ｘ　の範囲を求め，無限級数の和を求めよ。

それでは誤答例です～

今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば　 $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{n-1}$ 　のような無限等比級数を考えてみましょう

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 3\cdot 2^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3(2^n-1)}{2-1} =\lim_{n\to\infty} 3(2^n-1)=\infty$

となります。同様に無限等比級数　 $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot \left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^{n-1}$ 　を考えてみると

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 3\cdot \left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\left\{1-\left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^n\right\}}{1-\frac{1}{\,2\,} } =\lim_{n\to\infty} 6\left \{ 1-\left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^n \right \}=6$

となります。このようなことから，公比　ｒ　が　－１＜ｒ＜１　を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます

このため，無限等比級数　 $\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$ 　の収束条件は　－１＜ｒ＜１　であると覚えている人がとても多いです～
しかし，この内容は実は正確ではありません。
初項　a　が０の場合は特例で，公比がどんな値であろうと問答無用で　　 $\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=0$ 　　になってしまいます。
つまり収束条件は　－１＜ｒ＜１　または　a＝０　なのです