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誤答から学ぼうシリーズ・無限等比級数の収束条件
2016.10.19 01:44｜誤答から学ぼうシリーズ｜
どもども。
敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです～
無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです～
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます～
問題： 実数 ｘ に対して，無限級数(x+1)^{n-1}(x-1)^{n-1} "\sum_{n=1}^\infty (x+2)(x+1)^{n-1}(x-1)^{n-1}")
が有限値に収束すような
ｘ の範囲を求め，無限級数の和を求めよ。
それでは誤答例です～
今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば
のような無限等比級数を考えてみましょう 
}{2-1}&space;=\lim_{n\to\infty}&space;3(2^n-1)=\infty "\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 3\cdot 2^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3(2^n-1)}{2-1} =\lim_{n\to\infty} 3(2^n-1)=\infty")
となります。同様に無限等比級数^{n-1} "\sum_{n=1}^\infty 3\cdot \left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^{n-1}")
を考えてみると
^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\left\{1-\left&space;(&space;\frac{1}{\,2\,}&space;\right&space;)^n\right\}}{1-\frac{1}{\,2\,}&space;}&space;=\lim_{n\to\infty}&space;6\left&space;\{&space;1-\left&space;(&space;\frac{1}{\,2\,}&space;\right&space;)^n&space;\right&space;\}=6 "\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 3\cdot \left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^{k-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\left\{1-\left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^n\right\}}{1-\frac{1}{\,2\,} } =\lim_{n\to\infty} 6\left \{ 1-\left ( \frac{1}{\,2\,} \right )^n \right \}=6")
となります。このようなことから，公比 ｒ が －１＜ｒ＜１ を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます
このため，無限等比級数
の収束条件は －１＜ｒ＜１ であると覚えている人がとても多いです～
しかし，この内容は実は正確ではありません。
初項 a が０の場合は特例で，公比がどんな値であろうと問答無用で
になってしまいます。
つまり収束条件は －１＜ｒ＜１ または a＝０ なのです
今回の誤答例でも 初項＝０ のパターンが抜け落ちているというわけです。
この例題のように，初項や公比部分に文字を含んだ無限等比級数には注意しましょう～
それでは正答例です～
敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです～
無限級数に関する項目が続いていますが今回もその続きです～
無限等比級数の収束条件に関する誤答を見てみます～
問題： 実数 ｘ に対して，無限級数
ｘ の範囲を求め，無限級数の和を求めよ。
それでは誤答例です～
今回は無限等比級数の収束条件がテーマです。
例えば
となります。同様に無限等比級数
となります。このようなことから，公比 ｒ が －１＜ｒ＜１ を満たす場合には無限等比級数は収束することが見て取れます
このため，無限等比級数
しかし，この内容は実は正確ではありません。
初項 a が０の場合は特例で，公比がどんな値であろうと問答無用で
つまり収束条件は －１＜ｒ＜１ または a＝０ なのです
今回の誤答例でも 初項＝０ のパターンが抜け落ちているというわけです。
この例題のように，初項や公比部分に文字を含んだ無限等比級数には注意しましょう～
それでは正答例です～
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