プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

誤答から学ぼうシリーズ・極限値の存在とその大小 その2

2016.10.23 18:27|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおん2mini


今回も極限に関連した誤答を扱います~

問題:  で定められる数列  について以下の問いに答えよ。
(1) 任意の自然数 n に対して,   が成り立つことを示せ。
(2)  が成り立つことを示せ。



それでは誤答例です~

yy1.jpg
yy2.jpg


今回の誤答は以前に扱ったこの内容と同じカラクリです:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-321.html

一般に,「任意の自然数 n に対して  が成り立ち,かつ  
(αとβは実数)が成り立つとき,  が成り立つ」
という命題は真ではありません car2_truck.gif
なぜなら,そもそも  が存在するかどうかが分からないからです。
もし存在しないなら,存在しないものに対して大小を論じるというのはナンセンスなことです。

例えば,  は任意の自然数 n に対して成り立ちますが
 であるからと言って  
が成り立つかと言われればそうではありませんね。

なお,もしも  が有限値として定まるならば  が成り立つというのは正しいです。

考察対象の数列を上と下から評価するという作業はよくしますね。
はさみうちの原理を使いたいという目的があることが多いですが,そのときの感覚が残りすぎていると
上側の数列と下側の数列が有限値に収束したら,真ん中の数列も有限値に収束してしまうかのような
先入観に囚われてしまうわけですね hamster_6.gif
上側の数列と下側の数列が同じ有限値に収束したら真ん中の数列もその値に収束するというのが
はさみうちの原理なので,今回の例題のような状況ははさみうちできていないですね。

また,  が成り立っていて,かつ 
であるときには α<β ではなく α≦β が成り立ちます。
α=β かもしれないわけですね。

というわけで(2)で本来やらなければならないことは,  が存在することを示した上で
更に  が成り立つことを示すということです。
与えられた漸化式の両辺について2を底とする対数をとることで



と変形でき,これを更に 
と変形することにより,数列  が公比  の等比数列になることが分かるので
直接  を求めていくことが出来ます kame.gif
(1)の段階で一般項を求めておくと,帰納法を用いなくても証明が出来ます。
そうすると,途中で  であることを確かめる場面が出てきます。
(2)では  であることを確かめて  が成り立つことを示す必要がありますが
(1)の時点でこの大小関係は確かめられているわけです。


それでは正答例にいきましょう~


yy3.jpg
yy4.jpg



関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。