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誤答から学ぼうシリーズ・相加平均と相乗平均の関係 その3

2016.10.24 01:12|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini


今回は相加平均と相乗平均の関係にまつわる誤答です~


問題: a を実数とする。 x の2次方程式  が正の実数解を持つような a の範囲を求めよ。


それでは誤答例です~

yy5.jpg
yy6.jpg

方程式が正の実数解を持つ条件を相加平均と相乗平均の関係式を用いて求めてみたという解答です~
実際, a≧5 が正解なのでちゃんと正しい範囲を導いてはいるのですが何がマズいのでしょう。
完全な誤りというわけではなく議論が足りないというのが妥当なところなのですが,
それを把握するため,とりあえず必要十分な議論ができているかどうかの観点から検討してみましょう~ taxi02.gif

まず,  は x=0 を解に持たないので,
 という方程式と同等なものであるという点は問題ありません。
その次に相加平均と相乗平均の関係式を用いて,「この方程式が正の解をもつ」ならば「a≧5」を見い出しています。
つまりここでの「a≧5」は必要十分条件ではなく必要条件です star-ani01.gif
以前に取り扱ったように(http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-306.html),相加平均と相乗平均の関係式が
与えてくれるのは基本的に2数の大小関係であって変数の取り得る値の範囲ではないわけです。
必要条件としての「a≧5」が言っているのは, a はいつでも5以上の値です,5未満の値にはなりません,
ということであって,5以上のすべての値をとれます,という内容は述べていません。
もしかしたら a の取り得る値の範囲は 5≦a≦8 とかだったりするかもしれないわけですね。
5以上のすべての値をとれます,という点を確認してようやく「a≧5」は必要十分条件に昇格するんです curry02.gif
上の誤答例ではこの部分の議論が抜けています。

さて,元々の2次方程式は解の公式を用いて



と解くことが出来ます。 a≧5 ならば a-1>0 かつ (a+3)(a-5)≧0 なので,この2次方程式は
確実に正の解  を持ちます。
このようなことを確認さえすれば a≧5 が求めるべき条件だということが結論づけ出来るんですね 8184765.gif

 と定数分離を行っているので,2つの関数  のグラフの
共有点の個数を調べるといった方針なんかも有効です。
ただ今回の例題においては多数派を占めるであろう解法アプローチは2次関数の単元の問題として捉えて,
2次関数  のグラフが x 軸の正の部分と共有点を持つための条件を考える
というものでしょう 8257410.gif
a の値に依らずグラフが点 (0,1) を通ることから,軸が y 軸より右にあり,かつ頂点の y 座標が0以下である
ことが元の方程式が正の解を持つための必要十分条件になります。
また,解の公式から出てくる2つの解のうち大きい方が正であればよいことに着目して,
a の不等式  を解くという方針なんかもあります。

それでは正答例にいきましょう~


yy8.jpg


2次関数的なアプローチだとこんな感じです~ 15927446.gif





yy9.jpg
yy7.jpg



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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

No title

          是非お願い致します:

容易過ぎる 低次の2次曲線 の 双曲線 を 二つ;

>うちの女房にゃ髭がある! - VOCALOID

双曲線 C1; 4 x^2-20 x y+4 x+y^2+14 y+1=0 には 漸近線が在る!。

漸近線を 求めて下さい;

●●獲た漸近線を用いて C1 を 表現をして下さい;


双曲線 C2; x^2-x y+3 x+2 y+2=0 には 漸近線が在る!。

漸近線を 求めて下さい;

●獲た漸近線を用いて C2 を 表現をして下さい;


-------------------------------------------------------

C2 上の格子点を ●を 用いて 容易に獲られることを示して下さい;


C1 上の格子点を ●●を 用いて 容易に獲られますか?;


    獲られないなら 他の発想を 明記し

C1上には格子点が無数に在ることを示し , 69点明示下さい;



No title

c;x^3*y-x+y=0 なる 4次曲線の 2重接線を 

(イ)以下の発想で お願いします;

http://mathpotd.blogspot.jp/2009/09/double-tangent-line.html


(ロ) また 別の発想で お願いします;

No title

コメントありがとうございます~

C1の方程式から,y=10x-7±√{48(2x^2-3x+1)}
lim_{x→±∞}(y/x) を考えることで漸近線の傾き 10±4√6 が得られます。
lim_{x→±∞}{y-(10±4√6)x} を考えることで漸近線
y=(10-4√6)x+3√6-7, y=(10+4√6)x-3√6-7 が分かります。
このことからC1の方程式を {(10-4√6)x-y+3√6-7}{(10+4√6)x-y-3√6-7}=-6
と変形できます。

一方でC2の方程式は y=x+5+12/(x-2)
と変形できるので漸近線は y=x+5 と x=2
C2の方程式は (x-y+5)(x-2)=12 とも変形できます。

xとyが整数ならx-y+5とx-2も整数なのだからC2上の格子点を求めたければ
2整数x-y+5,x-2の積が12になるようなものを調べればよくてそれは容易です。
そもそもy=x+5+12/(x-2)という表示も持つので,x-2が12の約数になるようなxを考える
という手でも格子点は分かります。

ところがC1 の{(10-4√6)x-y+3√6-7}{(10+4√6)x-y-3√6-7}=-6
という表示は左辺が無理数を含んでいるためC2のように容易ではないです。
そこで,48(2x^2-3x+1)が平方数になるxを探す方針に切り替えることにすると
2x^2-3x+1=3N^2 とおいてx=(1/4){3±√(24N^2+1)}
24N^2+1=M^2 とおくと,いわゆるペル方程式の形式の M^2-24N^2=1 を得ます。
M=5,N=1 はすぐ見つかりますがここで,
M_1=5,N_1=1,M_{n+1}=5M_n+24N_n,N_{n+1}=M_n+5N_n(n≧1)
により整数列{M_n},{N_n}を定めるとこれらは各nに対して M^2-24N^2=1 の解を与えます。
{M_n}は単調増加列なので M^2-24N^2=1 の解は無数に存在します。
しかもM_n≡1(mod 4)なのでx=(1/4){3+M}は整数です。
このことからC1上には無数の格子点があることが分かります。


また,x^3*y-x+y=0 からy=x/(x^3+1)
(x(t),y(t))=((1-2t^3)/(t^3+1)^2,3t^4/(t^3+1)^2)という曲線の自分自身との交点を考えます。
(1-2a^3)/(a^3+1)^2=(1-2b^3)/(b^3+1)^2
3a^4/(a^3+1)^2=3b^4/(b^3+1)^2
という連立方程式のa<bであるような解を頑張って求めるとa=-1-√3,b=-1+√3
このことから2重接線の方程式は y=(1/9)x+(4/9)

また2重接線の方程式を y=Ax+B とおくと,
x^3(Ax+B)-x+(Ax+B)=0
すなわち Ax^4+Bx^3+(A-1)x+B=0 が2重解を2つ持ち,
Ax^4+Bx^3+(A-1)x+B=A(x-α)^2(x-β)^2 の形で因数分解されます。
α<β ということにして係数比較法により
A=1/9,B=4/9,α=-1-√3,β=-1+√3
このことから2重接線の方程式は y=(1/9)x+(4/9) になります。
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