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2012年東工大入試数学 第1問その2

2012.10.20 22:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東工大入試数学の第1問(2)をやります~

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
mon1_20121018195000.jpg


確率の問題ですよ~
区別のない3個のサイコロを同時に3個投げるというシチュエーションで
出目の積が10の倍数になる確率を求めよという問題です。

区別のあるサイコロ,区別のないサイコロに関しては先日に
ネタにしていましたが,
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-34.html
この問題を見越して記事にした思惑も実はあったりします
今回の問題では2個ではなく3個のサイコロが登場します。
個数が増えても考え方は変わらないので臆することなく挑みましょう~jitensya02.gif


出目の積が10=2×5の倍数であるということは,
出目の積が2と5を因数に持っているということです。

では,出目の積が2と5を因数に持つには,
どのような出方になることが求められるでしょうかaicon_bbs19.gif

1~6の目の中に5の倍数は5しかありません。
したがって,3個のサイコロの出目の中に5が含まれていなければ
出目の積は5を因数に持つことはありません~

1~6の目の中に2の倍数は2,4,6があります。
したがって,3個のサイコロの出目の中に2,4,6のうち
少なくとも1個は含まれていなければ出目の積は2を
因数にもつことはありません~


出目の積が10の倍数になるためには
3個のサイコロの出目の中に
「5を必ず含む」
「2,4,6のうちどれか1つは必ず含む」

という2つの条件を満たさなければなりませんStrawberry01.gif
逆にこの2つの条件さえ満たしていれば必ず出目の積は
10の倍数になります~



そこで,1~6の目を,以下のように3つのグループに分けたいと思うのですMushroom03.gif

b1_20121019230643.jpg




まずは全体の場合の数を求めます
3個のサイコロに何かしらの区別をつけることにして
(1個目の出目,2個目の出目,3個目の出目)の組が全部で
何通りあるか考えてみると,6^3=216(通り)になります。

b3_20121019230644.jpg


求めたいのは下の図で言うところの赤い部分の場合の数です。
それの求め方は色々と考えられそうですね~car-usa.gif
 

b7_20121019230713.jpg



 A,Bグループの数字を含むパターンを場合分けする
まずは一番シンプルな発想でやってみましょう。
A,Bグループの数字を両方含めばいいので,3個の出目の所属するグループの組合せが
A,A,B     A,B,B      A,B,C
の3パターンがあることに注意して,
各パターンの場合の数を求めようというものですusagi.gif

b2_20121019230643.jpg
b4_20121019230644.jpg





 余事象の確率を利用する

「Aグループの数字を含む かつ Bグループの数字を含む」
の余事象は,
「Aグループの数字を含まない または Bグループの数字を含まない」
です。
「Aグループの数字を含まない」事象をX,
「Bグループの数字を含まない」事象をY,
「Aグループの数字を含まない かつ Bグループの数字を含まない」事象をZ
とおきます。

余事象の確率は,
(Xの確率)+(Yの確率)-(Zの確率)
で求められますspaghetti.gif

事象Xというのは,「3個とも5以外の目が出る」
事象Yというのは,「3個とも2,4,6以外の目が出る」
事象Zというのは,「3個ともCグループの数字が出る」
ということです。

b5_20121019230645.jpg



 (Aグル-プの数字を含む確率)-(Aグループの数字を含む かつ Bグループの数字を含まない確率) で計算する

Aグループの数字を含む確率から,
余分なものを取り除くという考えで答えが求められますshm01.gif


「Aグループの数字を含む」は「Aグループの数字を含まない」事象
(上の解法の中の事象X)の余事象
です。

また,「Aグループの数字を含む かつ Bグループの数字を含まない」事象は
3つの出目の数字の所属するグループの組合せが
A,A,A  A,A,C  A,C,C  
の3パターンあるので,それぞれ考察すればOKです~sayonara.gif


b6_20121019230645.jpg
b8_20121019230714.jpg
 





 (Aグループの数字を含む確率)+(Bグループの数字を含む確率)-(Aグループの数字を含む または Bグループの数字を含む確率) で計算する


Aグループの数字を含む確率と,Bグループの数字を含む確率を足すと
求めたい部分(さっきの図でいうところの赤い部分)の確率が2回足されてしまうので
Aグループの数字を含む または Bグループの数字を含む確率を引いてやると
ちょうど求める確率が余りますrabi_shy.gif

(Aグループの数字を含む確率)は上の解法で求め方を挙げています。
(Bグループの数字を含む確率)も同様に求めることができます。
(Aグループの数字を含む または Bグループの数字を含む確率)は
余事象「Aグループの数字を含まない かつ Bグループの数字を含まない」
すなわち「Cグループの数字だけを含む」確率を利用して求めると早いです。
(2つ上の解法の事象Zですね)


b9_20121019230714.jpg
b10.jpg











以上のように,答えの求め方は色々考えられる問題でした。
次回は大問2をやってみます~kasabake.gif











             
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テーマ:算数・数学
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 確率 区別のないサイコロ 倍数になる確率 ド・モルガンの法則

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