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誤答から学ぼうシリーズ・2変数と不等式

2016.11.01 01:42|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


今回は不等式に関する誤答です~



問題: 実数 x,y が2つの不等式 x+3<y<2x-3, 0<x<10 を満たしているとき, y の取り得る値の範囲を求めよ。


それでは誤答例です~



yy10.jpg



x を固定してしまうと y は開区間 (x+3,2x-3) を動き,下端 x+3 は下から3で抑えられ,
上端 2x-3 は17で上から抑えられています。
ということは 3<y<17 であるに違いない~~という発想です car2_fire.gif果たして何がマズいのでしょうか~

例えば x=8 としてみましょう~
x+3<y<2x-3 に代入してみることで, 11<y<13 という y の動ける範囲が得られます。
それでは今度は x=1 としてみましょう~
x+3<y<2x-3 に代入してみることで, 4<y<-1 となります。
おや,奇怪ですね… いつから-1は4より大きくなったのでしょう
eto_tatsu.gif

誤答例がで見落としていたのはまさにこのような点なのですが,
「 x+3<y<2x-3 が成り立つ」という仮定から, x+3<2x-3 すなわち x>6 が成り立って
いなければいけないのです。
つまり, x の動ける範囲は実質的には 0<x<10 ではなく 6<x<10 だったんです。
この範囲のもとで, 9<x+3<y<2x-3<17 より, 9<y<17 が得られ,それが正しい答えです~

なお, x+3<y<2x-3, 0<x<10 を満たす x,y の組 (x,y) の存在領域を図示して考えるという手もあります nakioni.gif




それでは正答例です~

yy11.jpg





また,領域を使って考えるとこんな感じです~

yy12.jpg


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