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誤答から学ぼうシリーズ・相加平均と相乗平均の関係 その4

2016.11.06 14:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ わんちゃんmini

今回は相加平均と相乗平均の関係に関する誤答という括りにはなっていますが
もっと一般の問題でも起こりうる誤答,というか論理展開の順序の不適切さに関する話題を挙げてみます~


問題: x を実数とするとき,  の最小値を求めよ。


それでは誤答例です~



aaa1.jpg
aaa2.jpg




分母が2次,分子が4次の有理関数の最小値を求める問題です~
分子の方が次数が大きいので,割り算を用いて取り扱いのしやすい形に変形しています。
はじめの形のまま微分でもしようと思うと計算が大変ですからね。

なお,  とおいて,



と変形すると筆算などなくても容易に変形できますよ~ taxi02.gif

さて,そうして割り算をしたところ,誤答例では相加平均と相乗平均の関係が威力を発揮しそうな形



が現れました。  であることもしっかり確認しているし,等号成立条件にも
しっかり触れているし,何か記述が抜けているような不備は見当たらないようにも感じるかもしれません。
ただ宜しくない点が1つあります。
それは,0を最小値だと断定するタイミングです~ senpuki04.gif

誤答例では相加平均と相乗平均の関係式から



が分かった時点でもう「最小値は0」と言ってしまいました。
しかし,この段階ではまだ等号成立条件を確認していないため,等号が成立し得る保証がありません。
0を最小値と呼んでよいのは  が成り立つ実数 x が
少なくとも1つ存在することが明らかになってからです mikan01.gif
論理の展開の仕方に誤りがあるというわけですね。
「最小値は0である。なぜなら~~~~」みたいにつなげると倒置法スタイルで正しい論理展開に修正することは
出来そうですけどね。

このようなことは冒頭にも述べたとおり,相加平均と相乗平均の関係を用いる問題に限らず起こり得ます。
最大値とか最小値らしき値が出てきたとき,それが本当に最大値とか最小値と呼んで良い代物なのか
しっかり吟味して,その後で最大値とか最小値とか呼ぶようにしましょう~ mituba01.gif



それでは正答例にいきます~




aaa1.jpg
aaa3.jpg





  
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