プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

誤答から学ぼうシリーズ・分数型の関数と最大・最小

2016.11.09 08:35|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ くりmini

今回も前回に続き,分数型の関数の最大・最小に関連してしばしば見られる誤答を挙げてみます~



問題: t>0 とする。曲線  の x=0 における接線が x 軸と交わる点をAとし,また曲線  が直線 x=1 と交わる点をBとする。このとき,原点 O(0,0),A,Bの3点を頂点とする三角形の面積の最小値を求めよ。



それでは誤答例です~~


aaa4.jpg

    aaa5.jpg



 を求めるところまでは問題なしです~
ここから先で誤りが生じています。

最小値を出したいので,分子はなるべく小さい値であってほしいと考えるのは理解できます。
分子が t の2次関数になっているので,平方完成することにより,分子は t=1 で最小値をとることが分かりますが,
果たして分子が最小なら全体としても最小と言えるんでしょうか

正の実数の範囲で考えるとき,分母が一定値ならその発想は正しいです。
例えば  のように分母がともに3なら分子が小さいほど全体としての値は小さいです。
しかし, のように,分母が異なる2数の大小を考えるならば
分子の小さい方が全体でも小さいとは必ずしも言えません。
また,  のように分子が共通なら分母は大きい方が全体としては値が小さくなります。

△OABの面積は分数型の関数で表されていますが,分母も分子も t に依存して変動します。
相互作用の結果で全体の値が決まるため,分子だけを見て結論を見いだすことは出来ません
0<t≦1 のときには分母はどんどん小さくなり,分母はどんどん大きくなるので△OABの面積は
確かに t について単調減少になっています。
t>1 になると分子は増加に転じるので面積も増加するような気もするかもしれませんが,
分母は相変わらず大きくなり続けています。
t>1 になってすぐのうちは分子の増加の速度が遅いので分母が大きくなる効果の方が強く作用して
結果として t>1 になっても少しの間は面積は単調減少を維持し,
t=1 で最小になるとは言えないという現象が起きます。

このため作戦は変更しなければなりません。
微分を用いたり,2次方程式の実数解を持つ条件に帰着させたり幾つかアプローチの方法がありますが
相加平均と相乗平均の関係を用いるのが手っ取り早いと思います~

それでは正答例にいきます~




aaa4.jpg

      aaa6.jpg


  aaa7.jpg

関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。