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誤答から学ぼうシリーズ・回転体の体積

2016.11.20 04:22|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 箱ドットおにおんmini

今回は回転体の体積を求める問題に関する誤答をみてみます~


問題: 曲線  とx軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。


それでは誤答例です~


aaa8.jpg
aaa9.jpg
aaa10.jpg
aaa11.jpg



y軸まわりに回転というのが厄介ではありますが,実は答えの数値は合っています~
それでは一体何処に問題があるのでしょう。

x軸まわりに回転させる場合のことを思い返してみます。
下図のような2曲線 y=f(x), y=g(x) と直線 x=a, x=b で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる
立体の体積は,2つの回転体の体積の差として計算できます cat_4.gif


aaa15.jpg


大きい回転体から中身をくり抜いたという考え方もできるし,断面積の積分という観点からすると
下図のような円環領域の面積を積分したものという見方も出来ます。


aaa16.jpg


このような考え方はy軸まわりの回転体の場合にも同じように適用されます。
今回の例題でも2つの回転体の差として捉えていくことが出来ます。

aaa17.jpg


曲線  を 0≦x≦1 の部分と 1≦x≦3 の部分に分けて
それぞれを先程の例の y=g(x), y=f(x) の立ち位置に対応させていけば良さそうです。
誤答例では 0≦x≦1 の部分を x=f(y) と書いていますが,
「  の逆関数を x=f(y) とし,」という表現が用いられていることは
油断しているとスルーしてしまいそうになりますが,よくよく考えてみるとおかしいんです kaeru_ang3.gif
 の逆関数は陰関数表示で
 となります。ということは,誤答例の書き方だと
 になってしまいます。これは誤りですね。

逆関数という単語を用いて述べるならば,
「  の逆関数を y=f(x) とおくと, 
 は x=f(y) (0≦y≦4) と表せる。」
というのが正しいです kaeru_en1.gif
 をxについて解くという操作と,逆関数を求めるという操作を混同してはいけません。


なお,今回のような形状の図形の回転体について体積計算をする際には,
俗に言うバウムクーヘン分割だとかバウムクーヘン積分だとか呼ばれる考え方も有効に作用します xmas_tonakai.gif
ただ,この「バウムクーヘン分割」については,答案の中でどれくらい丁寧にことわりを入れるべきかで悩んでしまう
という難点があります。答えの値が出せないよりは細かい説明を省いてでも答えを導いたほうが実りは大きい
かとは思いますが,バウムクーヘンの側面積を積分していくような考え方は高校数学のスタンダードではないですよね。
答案中の説明がどれくらい丁寧であるべきかという問いに対して絶対的な答えはありません。
相手側の採点基準次第です。
本当に丁寧に書こうとすると,オーソドックスな手法で解いて答案を作るよりも労力がかかってしまう場合もあります。
穴埋め型試験のように答えの数値を出すだけで良いのなら,このようなことで頭を悩ませる必要もないんですけどね。
正答例の後半では丁寧にバウムクーヘン分割を利用してみたらどうなるかも挙げてみます。


それでは正答例にいきます~ aicon_bbs17.gif



aaa8.jpg

aaa12.jpg


aaa10.jpg
aaa11.jpg





一方で,バウムクーヘン分割を利用してみます~



aaa13.jpg
  aaa14.jpg



  
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