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誤答から学ぼうシリーズ・虚数の平方根

2016.11.22 00:00|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90



今回は虚数の平方根に関する誤答です~


問題:  を満たす複素数 z を求めよ。ただし, i は虚数単位とする。


それでは誤答例です~~


bbb1.jpg




実にあっさりとした解答ですね。本当にコレで良いのでしょうか?kero.gif

 のような方程式であれば  と瞬殺ですよね。
誤答例はこれと同じように解いただけのはずなのですが~~

この疑問に対する回答としては「現時点では適切ではない」というものが妥当でしょう。
では詳しく見てみましょう~

実数の範囲で数学をやっていたときには,根号の中身は0以上でなければならないというルールで
ずっと通してきましたね。虚数を導入した段階で根号の中身が負の実数でもOKというところまで
少しルールが緩くなりました。ここで注意したいのは,まだこの時点で根号の中身が虚数でもいいよ
というところまでは許容していない点です。
つまり,「ルート虚数」の形の数はまだ定義されていないのです eto_tora.gif

したがって,  と書かれても,「それは一体何なんですか?まずはその数の定義をしてください」
と跳ねられてしまうわけです~
然るべき定義のもとでは  という表記も意味を持つようになり,誤りとも言えなくなるのですが
現段階では妥当な解答とは言えませんね hiyo_ang2.gif

さて,正の実数 x に対しては必ず平方根は2つ,正のものと負のものが1つずつあり,
正のものを , 負のものを  と表す,というのが「ルート実数」の形の数の定義でしたね。
0の平方根だけは0のただ1つだけで,  です。
また,2乗して-1になる新しい数を考え,それを  と書くことにしようということで虚数単位が
導入されました。
任意の虚数 α=p+qi (p,qは実数かつq≠0) に対しても,2乗して α になる複素数が2つあります。
これを確かめてみましょう~~

z=x+yi (x,yは実数) が  を満たすと仮定します。



について,実部と虚部の比較をすることで 
という x と y に関する連立方程式が出来ます。
 が成り立つので,  の和と積が与えられたことになり,
 は t の2次方程式  の2解になります。
 に注意すると,2次方程式の解の公式により



が得られます。このとき, q>0 ならば

  (複号同順)

と2組の解が得られ, q<0 ならば

  (複号同順)

の2組が得られ,どちらの場合でも α の平方根は2個得られます kojika.gif
そこで,2つある平方根のうち一方を  ,他方を  と定義することによって「ルート虚数」が
定義できます。2個のうちどちらを  とするかは自由ではあるのですが,複素変数 w の関数として  が
連続になるように,そして w を正の実数に近付けたときに正の実数のルートの値との整合性が取れるように
定めておくのが便利ですよね。
ところが,複素数のベキには多価性の問題があり,少し注意を払って定義をしなければならない事情が実はあったりします。
その辺りの話は高校数学の範囲から外れてしまうので今は深入りを避けます。

今は q≠0 のもとで考えていましたが, q=0 として方程式を解けば α≠0 である任意の実数 α に対しても
α の平方根は複素数の範囲でも2個だけということを確かめることが出来ます。
尤も,解の公式を用いてもすぐ確かめることが出来ますが。

一連の内容は2次方程式の解が高々2個しか無いことを前提とすれば当然なことに感じるかもしれませんが,
その前提も決して自明なことではないんですよね。高校数学では実数係数の2次方程式は詳しく取り扱いますが
一般の複素数係数の2次方程式についてはそれほど詳しく取り扱っていなくて,解が高々2個であることも
ちゃんとは論じていないままになっている人も意外と多い気はします。

今回の例題も上で用いた手法に倣って解いていけばよいわけですね。
また,ド・モアブルの定理の応用として解いていくことも可能です。
数3では複素数の n 乗根の問題を取り扱いますよね。その手法を使えばよいのです。

それでは正答例を挙げてみます~

bbb2.jpg

なお, xy=10 が出てきた時点で x=5,y=2 という解を発見的に求めることはそれほど難しくありません。
5+2i が解の1つならば -(5+2i) だって2乗したら同じ値になるので解の1つです。
このことから, 
と因数分解できるので, z=±(5+2i) の2個だけが解であると結論付けることも出来ます kudan.gif


今度は極形式を用いて論じてみます~

bbb3.jpg
bbb4.jpg
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