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誤答から学ぼうシリーズ・条件付き最大・最小

2016.12.02 14:29|誤答から学ぼうシリーズ
どもども。

敢えて誤答から教訓を学び取るシリーズです~ 算数mini


今回は条件付き最大・最小の問題についての誤答を見てみます~


問題: 実数 x,y が  を満たしているとき, (x+6)(y+6) の最大値を求めよ。



今回は始めに3種類の誤答例を与えてみます~
困ったことに3つ全て答えの値が異なっています。
しかもそのいずれも本当の答えの値とも違っています。

誤答例 その1

bbb5.jpg



誤答例 その2

bbb6.jpg



誤答例 その3

bbb7.jpg



まず誤答例その1から検証してみます~
k=(x+6)(y+6) とおくことで, xy=k-6x-6y-36 が得られるので,
条件式  に含まれる xy を k-6x-6y-36 に置き換えることで
 という関係式を作り, k≦57 を得たという倫理展開です。
処理しづらい xy という項を消去して上手いこと最大値を出したように見えるかもしれないですね akaname.gif
ではここで,最大値として出てきた k=57 を与える x,y は何なのか考えてみましょう~
 となるのだから, x=y=3 ですね。
ところが,それだと  を満たさないのです~
k≦57 は大小関係としては正しいのですが,等号が成立することはないので実質的には k<57 なんですね。
『   という関係式を成り立たさせる x,y が存在するような k の値で
最大のもの』 というだけではダメだということが分かりました。

我々が抱えている条件式を振り返ってみると,元々は  ……(1) 
k=(x+6)(y+6) ……(2) の2つでした。 xy を消去することにより
 ……(3) が得られました。
「(1)かつ(2)」⇒「(3)」 は正しいですが, 「(3)」⇒「(1)かつ(2)」 は正しくありません~
「(1)かつ(2)」⇔「(1)かつ(3)」⇔「(2)かつ(3)」 のような関係なら正しいです。
k≦57 とは「(3)」が成り立つ x,y が存在する条件に過ぎず,「(1)かつ(3)」や「(2)かつ(3)」が
成立する x,y が存在する条件ではなかった,誤答例その1の敗因はここにあります。

「(1)かつ(3)」 を満たす k の最大値を求める方針で修正してみましょう~
(1)の方程式が表す図形は原点を中心に持つ楕円で,(3)は点 (3,3) を中心とする半径  の円です。
ただし, k=57 のときは円が潰れて1点になってしまいます。いまは k<57 の場合を調べれば十分で,
これらの楕円と円が共有点を持つような k の中で最も大きいもの,つまり最も円の半径が小さくなる k を求めれば
よいわけです。詳しい計算は正答例のコーナーに譲るとして,  となる k=49 のときに半径は
最小になり,求めるべき最小値は49だったということが分かります~ dog_shy.gif


続いて誤答例その2について検証してみましょう~
条件式  や (x+6)(y+6) は x,y に関して対称なので, s=x+y, t=xy とおいて
s と t の間の関係式に移行しようという試みです。
  から  が得られるので,その結果を (x+6)(y+6) に反映させると
 になってしまって最大値を持たない式が出てきてしまったという論理展開です。
最小値なら s=-3 でとるように見えますが,試しにそのときの x,y の値を調べてみます。
s=-3, t=6 なので,2次方程式の解と係数の関係から x と y は X の2次方程式 
の2解になっています。ところが,この2次方程式は実数解を持たず,2つの異なる虚数解が出てきます。
つまり x と y が実数として定まらないため, x と y がいかなる値をとったとしても s=-3, t=6 という状況は
起こらないということが言えます。
このように, s と t がとれる値には一定の制約があり,好き勝手な値をとれるわけではないようです dolphin.gif
それでは一体どのような値ならとれるのかというと, x と y が実数として定まればよいのだから
先程と同様に X の2次方程式  を考え,これが実数解のみを持てばよいことに着目します。
判別式≧0 であればよいので,  であればよいことになります。

x+y=s, xy=t とおいて, s と t の話にすり替える手法をとる問題はとても多くあります。
その際に毎回この  という条件が付随してきますので,これを忘れないようにしましょう。
この制約のもとでは今回の  も最大値を持ちます。
 より,  が得られ, s の動ける範囲が -2≦s≦2 だと分かります。
誤答例その2の敗因はこの制約を見落としたことにあります。


最後に誤答例その3を見てみましょう~
  から  が得られるのでそれを利用して
最大値  を求めました。
やはりこれも  の等号成立条件を確認していないところに失敗の原因があります kaeru_cry.gif
  が成り立つ x と y があるならばこの最大値で良いのですが,
 は実数解を持たないのでアウトです~
誤答例その2と同様に x+y と xy というかたまりに着目して攻めているので,このあとに挙げる誤答例2の修正版の
ように解いていくとよいでしょう~



それでは正答例です~
まずは誤答例その1の修正版です~



bbb10.jpg
bbb11.jpg



続いて誤答例その2の修正版です~



bbb8.jpg
bbb9.jpg







   
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