プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2012年東工大入試数学 第2問その1

2012.10.25 16:32|大学入試問題
どもども。


今回は今年の春の東工大入試 数学第2問をやっていきます~

問題はこちら~もなたん算数mini
mon2.jpg


(1)は対数の応用問題,(2)は整数問題です~
第1問に引き続いて(1)(2)が独立した問題になっておりますakaname.gif

今回やるのは(1)のほうです~


1+3+3^2+……+3^99 は何桁の整数ですか?という問題ですね~cat_1.gif

「~~~は何桁の整数ですか?」
「~~~の~~桁目の数字はなんですか?」


という形態の問題は対数の応用としてよく出てくるものです。
初めて見るときは,「えーー>< ナニコレー
って思ってしまうような問題なので,解法パターンをしっかり身につけておきたいところです!car2_fire.gif


まず,自然数Nがk桁であるという条件を
どうやって対数の話に結び付けたらいいかということを考えなくてはいけませんが,
これは「Nがk桁である」ことを同値な条件に置き換えることによって解決できます。

わかりやすい2桁の自然数でまず考えてみますよ。
2桁の自然数って,小さい方から順に  10,11,12,13,……,97,98,99
ですよね。つまり, 10≦N<100 を満たす整数だということと同値です。

3桁の整数は,100,101,102,……,997,998,999
ですから, Nが3桁の自然数であることは, 100≦N<1000 を満たす整数
であることと同値ですbuta.gif

k桁でも一緒で,「自然数Nがk桁である」ことは
10^(k-1)≦N<10^k を満たす整数」であることと同値です。

この表現の何がいいかというと,不等式の左辺と右辺が10の累乗になっているので
10を底とする対数と結びつけることが出来るようになるわけですよ。
10を底とする対数は常用対数と呼ばれますbody_run.gif

f(x)=log_10 (x) は単調増加な関数なので,
A≦B≦C ならば log_10 (A)≦log_10 (B)≦log_10 (C) となります。
したがって,10^(k-1)≦N<10^k より,
k-1≦log_10 (N)<k が成り立ちます





……な~~んてことを念頭に置いて問題を解いてみましょう!bouquet.gif

まず,1+3+3^2+……+3^99 ではちょっとよく分からないので
等比数列の和の公式を使ってもうちょい明瞭な形に直してみます。

c1_20121025140607.jpg

このsを求める問題に書き換えられましたね~
慣れないうちは,この不等式への書き換えがなかなか出来ないようですeto_tora.gif


さて,ここから先はどうするか,ということになりますね。
やり方は色々考えられますが,ちょっと工夫が必要ですね。

3^100は何桁の整数ですか?という問題だったら簡単です。
s≦log_10 (3^100)<s+1 を満たすsを探すために
log_10 (3^100)=100×log_10 (3)=100×0.4771=47.71
を計算するだけでs=47がすぐ求められます。
易しい問題なら,このように1つの計算で済んでしまうんですよ

今の場合,シンプルな発想だと,
log_10 ((3^100-1)/2)=log_10 (3^100-1)-log_10 (2)
を計算しなければなりませんが,log_10 (3)の値しか与えられてないので
log_10 (3^100-1)の値がちょっと分かりませんね~

この障害を乗り越えるための工夫が必要だというわけなのです。
log_10 (3^100-1)の値が直接求められないとしても,およそこれくらいという概数でなら
表されるのではないか
というのがヒントです。
では,いくつかの解法を考えてみたいと思います。




 3の累乗で評価してみる

自然数Nについて,3^p<N<3^(p+1) という評価が与えられたとしたら
log_10 (3^p)<log_10 (N)<log_10 (3^(p+1)) より
p×log_10 (3)<log_10 (N)<(p+1)×log_10 (3)
が得られるので,log_10 (3)の値だけでlog_10 (N)の値を評価できますeto_tatsu.gif

今回は,N=(3^100-1)/2の場合を考えてみればいいですね!
N=1+3+……+3^99なのでN>3^99が分かります。
またNは3^100の約半分なので,N<3^100です。
どうやら,3^99<N<3^100のようですね~~


c2_20121025140607.jpg
c3_20121025140608.jpg






 log_10 (3^100)の値を評価してみる

先ほども述べたように,3^100の桁数を求める問題だったら
比較的簡単なのです。log_10 (3^100)の計算がすぐ出来るからです。
そこで,計算で得られるlog_10 (3^100)の値を上と下から評価してみます。
このときのlog_10 (3^100)の評価は,3^100の評価に反映されます。
そして, A<3^100<B だとすれば (A-1)/2<(3^100-1)/2<(B-1)/2
という評価が得られます。
これを利用してsを求めてやろうという方針で挑戦してみましょう~~eto_saru.gif

c4_20121025140609.jpg

下からの評価が 47<log_10 (3^100) ではなく
47+log_10 (3)<log_10 (3^100) にするあたりがトリッキーですね~






 log_10 (3^100/2)の値を評価してみる

(3^100-1)/2=(3^100)/2-1/2 と書けます。
3^100は奇数なので2では割り切れなくて,
*****.5 の形をしています。
そこから0.5を引くので(3^100-1)/2は整数です。

0.5なんて,(3^100)/2と比べると圧倒的にちっさい数ですね。
そのため,(3^100-1)/2の値は(3^100)/2の値と実はほとんど変わらんのです。
だから,(3^100)/2が大体どれくらいの大きさか調べれば
(3^100-1)/2の値も多分それと同じくらいの大きさに違いありませんheart2_glitter.gif

そこで,sの値の見当を(3^100-1)/2の評価から(s=47だろうと)見出して
その予測が実際正しいことを確かめてみるという方針が考えられます。


c5_20121025140610.jpg
c6_20121025140628.jpg

答案としては,前半部分は計算用紙で済ましてしまって,いきなり
10^47≦(3^100-1)/2<10^48 であることを確かめよう。
の行からスタートしても構いません。
読む側はどっから47という数字が出てきたんやとは思うでしょうが,
知りたいのは47の出処ではなくて(3^100-1)/2の桁数なので
 10^47≦(3^100-1)/2<10^48 を確かめて
答えは48桁だといってしまえば,何の不足も無い答案の完成です





せっかく求めた(3^100)/2の評価部分を活かした解法も挙げてみます。
さっきも言ったように,(3^100)/2は*****.5の形の数なので
10^47<*****.5<10^48 
から直接 10^47<*****<10^48 を導いてしまう方針ですkaeru_ang2.gif



c7_20121025140628.jpg











次回は(2)をやっていきます~isona.gif





   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 対数 常用対数 桁数 不等式 評価 整数

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。