FC2ブログ
プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

11 | 2018/12 | 01
- - - - - - 1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 - - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2016年京大特色入試第1問

2017.01.11 02:19|大学入試問題
どもども。

少し時間が経ってはしまいましたが,今年の京大特色入試の問題を見てみます~ げろ
昨年は第1回目ということもあって大変話題になりましたね。
今年は去年ほどは話題にはなっていませんでしたが相変わらずの難度です。
とは言っても,昨年よりはだいぶ取り組みやすいレベルに落ち着いたような印象があります~
昨年はちょっと難しすぎたということなんでしょうか。

今回は第1問を見てみますよ~
問題はこちら~


問題: r  を    を満たす有理数とする。 xy平面上の点列   を



で定める。以下の条件 (A) を満たすような r をすべて求めよ。


 (A) すべての自然数 n について,   が成立する。



ベクトル,複素数平面,図形と方程式,数列,三角関数,整数問題,とにかくたくさんの分野の融合問題とみなせる
とても恐ろしい問題です。1つの大問で様々な分野の知識を試せる良問と言えます。

では答えを求めていきましょう~
まず,ベクトル形式の隣接3項間漸化式が与えられていますね。
通常の隣接3項間漸化式が2個組になっただけのものとも言えるので,いつも通りの特性方程式を用いた解法が
利用できます。 X の2次方程式  の2解は,
 という絶対値1のとても分かりやすい値になっているので,
 とおいて解き進めると



が得られ,更に解と係数の関係を用いて,




を得ることが出来ます~ dog_happy.gif





とおくと,式変形により  が得られます。

 ならば等号が成立しますね。  の場合は  
が任意の n について成り立つような r を調べていけばよいです。

  ( A と B は互いに素な自然数) とおいて考えます。

任意の n に対して単位円上の点  は, 



の中のどれかとは一致しますが, x 座標は

 のいずれの値にもなってはいけません。

この条件を満たすのは B=1 のときのみであることを実証して,求める答えが  (Aは2以上の自然数)
であることを導いていきます hiyoko02.gif


ddd1.jpg

ddd2.jpg
ddd3.jpg
ddd4.jpg



ddd5.jpg
ddd6.jpg
ddd7.jpg


ddd8.jpg
ddd9.jpg

関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

すみません、解いてみたのですが答えが合わず、、、。どこが間違っているか分かりますでしょうか?

(A)⇔うさぎマークの式

まではOK。mを0≦(2n+1)πr-2mπを満たす最大の整数、すなわち[(2n+1)r/2]とすると、

(A)
⇔∀n,πr≦(2n+1)πr-2mπ≦2π-πr
⇔∀n,m/(2n)≦r≦(m+1)/(n+1)
⇔∀n,r≦(m+1)/(n+1)
⇔∀n,(n+1)r≦[(n+1)r-r/2]+1

ここで[a-b]=[a]-[b]({a}≧{b}),[a]-[b]-1({a}<{b})に気をつけて場合分けをする

(1){(n+1)r}≧{r/2}のとき

(A)
⇔{(n+1)r}≦-[r/2]+1=1

となり自明

(2){(n+1)r}<{r/2}のとき

(A)
⇔{(n+1)r}={(n+1)r}+[r/2]≦0
⇔{(n+1)r}=0
⇔(n+1)r∈Z

(1),(2)より

(A)
⇔「{(n+1)r}<{r/2}⇒(n+1)r∈Z」
⇔∀n≠Ak-1,{(n+1)r}≧{r/2}=r/2
⇔min[∀n≠Ak-1]{(n+1)r}=1/A≧r/2=B/(2A)
⇔2≧B

よって求めるrはB/A(B=1,2∧A≧2B)

No title

コメントありがとうございます~

なるほど面白い考え方をしてるな~!て思いました~
答えが合わないということですが,シンプルなところで序盤にある

⇔∀n,πr≦(2n+1)πr-2mπ≦2π-πr
⇔∀n,m/(2n)≦r≦(m+1)/(n+1)

の部分の変形が

⇔∀n,πr≦(2n+1)πr-2mπ≦2π-πr
⇔∀n,m/n≦r≦(m+1)/(n+1)

なのではないかと。
m/n≦r について上の考察と同様に話をすすめると

∀n,{nr}<1-r/2 ⇔ B<2

が出てきて無事に r=1/A で落ち着きそうです~


Re:No title

「面白い考え方」なんて誰からも言われたことなくて新鮮な気持ちです、、、。こんなヘタクソな方法で呆れられるかな、と思っていたので予想外でした。

これはひどいですね笑。何回も見直したはずなのに、、、orz 。

ありがとうございました、本番は特に気を付けなければ、、、笑。

Re: Re:No title

そういう攻め方もあるのだなぁ~と思って普通に感心しましたよ~

πr≦(2n+1)πr-2mπ≦2π-πr が成り立たなきゃいけないという条件について,
下からも上からも挟まれることはかなり本質的な部分だと思うので
一方が常時成り立つものとして実質スルーされるという事態はなんか変だぞ~
と思いましたが,やはりそこに誤りがあったようです~

「本番は」ということは例の試験を受ける受験生さんなのですね,
ケアレスミスの無いよう頑張ってください~

No title

そう言っていただけて素直に嬉しいです。滅多に人から誉められないので、、、。でもやっぱり全然まだまだなので頑張ります。

言われてみるとそこに違和感を抱かなかった自分はヤバいですね、、、。とにかく解き終わりたい、という欲求が強すぎて機械的処理のときにあまりにも無思考でした。反省します。

「上から抑えられる⇔B<2⇒2≧B⇔下から抑えられる」なので上から抑えられることが本質的みたいですが、まぁこれは揚げ足になってしまうかもしれないし何より偶然かもしれないので、メモ程度に書いておくことにとどめます。

はい、こんなんですけど一応笑。「迅速かつ正確に」を念頭において詰めていきます(自分への言い聞かせです笑)。
非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。