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2016年京大特色入試第1問

2017.01.11 02:19|大学入試問題
どもども。

少し時間が経ってはしまいましたが,今年の京大特色入試の問題を見てみます~ げろ
昨年は第1回目ということもあって大変話題になりましたね。
今年は去年ほどは話題にはなっていませんでしたが相変わらずの難度です。
とは言っても,昨年よりはだいぶ取り組みやすいレベルに落ち着いたような印象があります~
昨年はちょっと難しすぎたということなんでしょうか。

今回は第1問を見てみますよ~
問題はこちら~


問題: r  を    を満たす有理数とする。 xy平面上の点列   を



で定める。以下の条件 (A) を満たすような r をすべて求めよ。


 (A) すべての自然数 n について,   が成立する。



ベクトル,複素数平面,図形と方程式,数列,三角関数,整数問題,とにかくたくさんの分野の融合問題とみなせる
とても恐ろしい問題です。1つの大問で様々な分野の知識を試せる良問と言えます。

では答えを求めていきましょう~
まず,ベクトル形式の隣接3項間漸化式が与えられていますね。
通常の隣接3項間漸化式が2個組になっただけのものとも言えるので,いつも通りの特性方程式を用いた解法が
利用できます。 X の2次方程式  の2解は,
 という絶対値1のとても分かりやすい値になっているので,
 とおいて解き進めると



が得られ,更に解と係数の関係を用いて,




を得ることが出来ます~ dog_happy.gif





とおくと,式変形により  が得られます。

 ならば等号が成立しますね。  の場合は  
が任意の n について成り立つような r を調べていけばよいです。

  ( A と B は互いに素な自然数) とおいて考えます。

任意の n に対して単位円上の点  は, 



の中のどれかとは一致しますが, x 座標は

 のいずれの値にもなってはいけません。

この条件を満たすのは B=1 のときのみであることを実証して,求める答えが  (Aは2以上の自然数)
であることを導いていきます hiyoko02.gif


ddd1.jpg

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