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2016年京大特色入試第2問

2017.01.11 11:56|大学入試問題
どもども。

昨年の京大特色入試第2問を眺めてみます~ 箱ドットおにおん2mini


問題: n を自然数とする。実数

で定める。
 以下の設問に答えよ。
(1)  と  を求めよ。
(2) すべての自然数 n に対し, は正の有理数であることを示せ。さらに, を互いに素な自然数  と  を
用いて と表すとき,  は奇数であることを示せ。



定積分に関する問題です。
全4問あるうちでは一番取り組みやすいかもしれない問題です。
どういうルートで解き進めるかによって計算の面倒臭さが変わってきそうではあるのですが
上手に攻めればさほど労なく結論まで到達できます。
(1)で初項と第2項を求めさせていますが,この時点で「もしかして n=k,k+1 の場合を仮定して
n=k+2 の場合での成立を示すタイプの帰納法の問題ではないか?」と想起させようしていたのでしょうか。
その誘惑を振り払って帰納法を用いずに攻めていきたいと思います~ dog_angry.gif

(1) はなんてことないただの易しい計算問題です~


ddd23.jpg


この易しさがまた誘惑を生みます。
この調子で第3項以降も部分積分を繰り返していけば定積分が計算できそうだぞーーー
その点に着目して漸化式を立てていけばいい感じかな?
…っていう方針で攻めたくなっちゃうかもしれませんね。勿論,それで攻めても構いません。
ただ,その方針で攻めると決断して手を動かし始めてしまうと,
頭の中から「置換積分」という選択肢が消えてしまいます。

実は置換積分が威力を発揮します。
 の置換で積分区間が 2≦y≦3 に移行し,



と変形できます。多項式の積分になってしまったわけなので,これでだいぶ楽になりました。
n がいくらであっても被積分関数は 2≦y≦3 において正値なので  はすぐ分かります。
あとは  が有理数であることと既約分数表示で分母が奇数になることの検証です。
漸化式を作る方向性よりも,2項定理で展開しちゃって直接定積分を計算してしまう方が手っ取り早いです hamster_2.gif



ddd24.jpg
ddd25.jpg






   
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