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2016年京大特色入試第2問

2017.01.11 11:56|大学入試問題
どもども。

昨年の京大特色入試第2問を眺めてみます~ 箱ドットおにおん2mini


問題: n を自然数とする。実数

で定める。
 以下の設問に答えよ。
(1)  と  を求めよ。
(2) すべての自然数 n に対し, は正の有理数であることを示せ。さらに, を互いに素な自然数  と  を
用いて と表すとき,  は奇数であることを示せ。



定積分に関する問題です。
全4問あるうちでは一番取り組みやすいかもしれない問題です。
どういうルートで解き進めるかによって計算の面倒臭さが変わってきそうではあるのですが
上手に攻めればさほど労なく結論まで到達できます。
(1)で初項と第2項を求めさせていますが,この時点で「もしかして n=k,k+1 の場合を仮定して
n=k+2 の場合での成立を示すタイプの帰納法の問題ではないか?」と想起させようしていたのでしょうか。
その誘惑を振り払って帰納法を用いずに攻めていきたいと思います~ dog_angry.gif

(1) はなんてことないただの易しい計算問題です~


ddd23.jpg


この易しさがまた誘惑を生みます。
この調子で第3項以降も部分積分を繰り返していけば定積分が計算できそうだぞーーー
その点に着目して漸化式を立てていけばいい感じかな?
…っていう方針で攻めたくなっちゃうかもしれませんね。勿論,それで攻めても構いません。
ただ,その方針で攻めると決断して手を動かし始めてしまうと,
頭の中から「置換積分」という選択肢が消えてしまいます。

実は置換積分が威力を発揮します。
 の置換で積分区間が 2≦y≦3 に移行し,



と変形できます。多項式の積分になってしまったわけなので,これでだいぶ楽になりました。
n がいくらであっても被積分関数は 2≦y≦3 において正値なので  はすぐ分かります。
あとは  が有理数であることと既約分数表示で分母が奇数になることの検証です。
漸化式を作る方向性よりも,2項定理で展開しちゃって直接定積分を計算してしまう方が手っ取り早いです hamster_2.gif



ddd24.jpg
ddd25.jpg






   
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テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

以前このシリーズの第4問にコメントした者です、お久しぶりです。

「漸化式を作る方向性よりも,2項定理で展開しちゃって直接定積分を計算してしまう方が手っ取り早いです 」とあるのですが、正直僕にはあまり手っ取り早さの違いが解らないのですが、何か勘違いしているのでしょうか?

漸化式は(2n-1)a[n]=3*8^(n-1)-2*3^(n-1)-(2n2)a[2n-2],a[1]=1となり、左辺の(2n-1)の寄与を考えれば帰納的に題意を満たすことはほぼ明らかなので、こちらの方がむしろ答案の書きやすさも考えて、良いのではないかと思うのですが、どうなんでしょうか?

また置換のところは双曲線関数を意識されたのでしょうか?

Re: タイトルなし

コメントありがとうございます~

漸化式で攻める方法も普通に悪くないと思いますよ~
自分がさっき計算してみたところ,
a[n]={18・8^(n-2)-2・3^(n-2)}/(2n-1)+{2(n-2)(a[n-1]+2a[n-2])}/(2n-1)
という漸化式が得られました。とりあえず第4項までは正しく得られるのを検算目的で確認してみたので
計算ミスはしてない気はします。この漸化式を得る計算よりも2項定理を用いた計算のほうが
楽のような印象が個人的にはしましたが,個人差のある主観的な話かもしれません~
最初に漸化式方針を思いついてそれでいこうと決めた人にとってはその方針が楽に見えるかもしれないですしね。  

(2n-1)a[n]=3*8^(n-1)-2*3^(n-1)-(2n2)a[2n-2],a[1]=1
というのは何か打ち間違い?か何かあるような?
2n2はなんだろう?
とりあえず正しく項が得られるかどうか確認してみると良いでしょう~

置換については,解いてるときはこれといって双曲線関数は意識してませんでした~
背景では何か関連でもあるのかもしれませんが~

Re: Re: タイトルなし

すみません、仰る通り打ちミスしてました、、、。

(2n-1)a[n]=3*8^(n-1)-2*3^(n-1)-(2n-2)a[n-1],a[1]=1

の間違いでした。一応僕もa[3]=458/15,a[4]=6494/35まで使って検算してみましたが、数値的に問題無いように思いました。

しかしそちらも打ちミスでしょうか、wolfram 先生に計算してもらったところ数値が合わないようです(例えばa[2]=0のようです)
http://m.wolframalpha.com/input/?i=a%5Bn%5D%3D%7B18*8%5E%28n-2%29-2*3%5E%28n-2%29%7D%2F%282n-1%29%2B%7B2%28n-2%29%28a%5Bn-1%5D%2B2a%5Bn-2%5D%29%7D%2F%282n-1%29+%2Ca%5B1%5D%3D1


ここら辺は枝葉末節なのでそんなにこだわるようなところでもないかもしれませんが、、、。とりあえず漸化式でも圧倒的にやり易さが変わる、ということでもないということが分かって良かったです。個人的にはΣとかがボンボン出てくると少しゴツい印象を受けるのでなんとなく避けたい欲求が無意識の内に出てしまうようです笑。

Re: Re: Re: タイトルなし

コメントありがとうございます~

やはり打ち間違いでしたか~
自分も数式の入力は気をつけていても普通に間違っちゃうので困りものです。

さて,自分が挙げた方の漸化式は隣接3項間漸化式なので第2項まで指定しておかないといけません~
第2項まで指定しておくとwolfram 先生もしっかり正しく結果を出力してくれました~
この隣接3項間漸化式は最初の定積分の形ではなく,置換後のyの定積分の方から作ったのですが,
元々のxの定積分から漸化式を作ると上のコメントで挙げていただいた隣接2項間の漸化式が得られますね。
問題を解いたのが約1年前とかだったので,今回は序盤は無視してyの定積分からスタートして漸化式を作ってしまいましたが,
(1)の流れを汲んでいくと,元のxの定積分の状態から隣接2項間の漸化式を作るほうが自然な感じがしますね。

xの定積分のまま攻める方針→漸化式
yの定積分で攻める方針→2項定理

が個人的にはとっつきやすそうです。
Σ記号がゴツくて嫌,とか,定積分の値が陽に求まると嬉しい,とか
その辺りは個人の主観的な問題でしょうね。
今回の問題ではどっちの手法を選んでも,ある程度着地点が見える形に変形できるのがうれしいですね~

Re:Re: Re: Re: タイトルなし

僕の漸化式が合っていそうだったのでそちらのは間違っているのだろう、という思い込みのせいかよく見ていませんでした、、、。確かに仰る通りですね。こういう風にすぐ思い込みが邪魔をするから頭が固いんでしょうね、、、。

それにしても二項間と三項間で全く同じ数列を示すものが出てきたのはちょっとびっくりしました。二項間から三項間は簡単に導けますがその逆は難しい(というか一般項を介さない限り無理?)というのは一般に当てはまる状況だと思いますが、この場合を参考にすれば、一般に何か複雑な漸化式があったときそれの「母」となる仲介役(今回は定積分)を見つけられればそこで変形することで複雑度が下がった同値な漸化式が得られるんじゃないか、なんて夢想しました。もしこれが正当化出来れば例えばアペリーのζ(3)の無理性の証明のキーになるかの謎の漸化式についてもなにか分かるかもしれない、、、なんてのは流石に夢見すぎかもしれないですねw。

「一般項を介さない限り無理?」についてもきちんと定式化して解決出来れば何か道が開けるかもしれない、なんて思いました。

三項間→二項間→一般項

っていう複雑度が下がって行く列にたいしてガロア対応的な感じで漸化式に作用するなんかしらの群の列が一対一に対応してたりしてるかも、、、ってまぁそんな巧い話があったら既に先行研究がありそうですけどね笑。

色々と派生するものがあって興味深い問題だなぁと思いました。

Re: Re:Re: Re: Re: タイトルなし

同じ定積分でも変数の選び方次第で自然に得られる漸化式が変わってくることがあるなんて面白いですよね。
複雑な漸化式から簡単なものへ,ていうのは興味深い発想ですね。
どういった一般論が築けるものなんでしょう。
微分方程式との対比なんかを考えてみると面白いかもしれませんね。

夢想するのは楽しいですが,大体の場合ある程度のところで期待を裏切られてしまうことが多くて
それは切ないところでもあります~
うまくいきそうでいかないもどかしさが数学の考察の楽しみでもありますが~

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