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2016年京大特色入試第4問

2017.01.14 23:32|大学入試問題
どもども。

今回は去年の京大特色入試第4問です~ くりmini



問題: xy 平面上の格子点とは,その点の x 座標と y 座標がともに整数となる点のことをいう。
n を 2 以上の整数とする。 xy 平面上で不等式

で表される領域を  とする。   に属する格子点の個数を  とおく。
 例えば, n=5  のときは,領域 に属する格子点は (0,0),(1,0),,(2,0),(3,0),(4,0),(3,1),(4,1) の
7 個であるから,  となる。また,n=9 のときは,以下の図のように(図は省略)領域   に属する
格子点は全部で21 個あるから,  である。
以下の設問に答えよ。
(1)     を示せ。
(2) 以下の条件(H)を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
 (H) すべての自然数 n について,  が成立する。




前回の特色入試に引き続いて2016年も格子点の問題が出てきました~
 は3点  を頂点に持つ三角形の面積です。
この面積と格子点の個数  の比較をしていこうという趣旨の問題です。
格子点の分布と単位正方形による格子との対応を考え,領域の面積とそれに含まれる格子点の個数を比較する問題は
しばしば見受けられます。


eee1.jpg


eee2.jpg


直角三角形状の領域です。斜辺の上には原点以外の格子点はありません。
領域上で x 座標が k である格子点は 
の計  個です。[ ] はおなじみガウス記号です。
これを k=0,1,2,…,n-1 まで和を取れば  を表せますが,シグマ記号を含まない簡潔な形まで
式変形するのは苦しいです。
そこで,(1)ははさみうちの原理を用いて極限を考えていきます~ kusyami02.gif


eee3.jpg
eee4_20170114214149bfe.jpg




(2)はどんな実数 C を選んでも,条件(H)を満たさない自然数 n があることを示す問題です。
C≦0 の場合はどの n に対しても条件(H)を満たしません。
C>0 の場合が厄介です。もしもすべての n について条件(H)を満たすのだとしたら, 


が常に成り立つので,はさみうちの原理を用いれば 
が得られてしまいます。そこで,この極限が0に収束しないことを示せれば解決できそうです katorisenko02.gif
実数 x の小数部分を <x> で表すことにすると,



と変形できることに着目していきます~


eee5.jpg
eee6.jpg


数列   (n≧0) のはじめの数項を書き並べてみると, 0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,…
この数列は同じ数字が2個か3個並んで,そして値は1ずつ増えていくという性質があります。
 だからですね。

 が成り立っているときに,  は N であるか N+1
であるかのどちらかということになりますが, N になるための条件は  で,
N+1 になるための条件は  です~ katudon.gif



eee7.jpg
eee8.jpg
eee9.jpg





が成り立っているときには,



が成り立ち,一方で



が成り立っているときには,



が成り立ちます。
そこで,  が成り立つ n を固定し, 
 となる k が2個であるような u 以下の非負整数 ℓ が α 個あり,
 となる k が3個であるような u 以下の非負整数 ℓ が β 個あると仮定すると,
 であるといえるので,これを利用して  を
上から評価します。その結果を使うと目標達成まで到達できます~ heri01.gif


eee10_2017011421020302c.jpg


eee11_20171117092246352.jpg


なお, Weylの一様分布定理 という定理があり,その定理から数列  (n≧1) の項は
開区間 (0,1) の中で稠密に分布していることがいえます。



   
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コメント

誤植の報告と質問

最後の不等式のルートの中身は24ではなく20ではないでしょうか?多分これは誤植で間違い無いかと思います。

(2)の最初の式変形はどのような発想で思い付かれたのでしょうか?僕にはそんなひらめきが出来ず、ここ三日間地道にピックの定理から以下に書くような方針でやっているのですが解ける気配がしません、、、。この方針でも解けるでしょうか?面倒な質問ですみません。

「P[i]:=(i,[i/√5])、A:=(P[0],P[1],P[2],,,P[n-1],(n-1,[(n-1)/√5]+1)の合計n+1点で囲まれた領域(但し境界も含む))、B:=(P[0],P[1],P[2],,,P[n-1],(n-1,0)の合計n+1点で囲まれた領域(但し境界も含む))、S(W):=(領域Wの面積)とします。

Aに入っていてBに入っていない格子点の個数をdnとする。ここでAにピックの定理を使うと、

S(A)=(n+gcd(n-1,[(n-1)/√5]+1))/2+dn-1

であり、S(A)+S(B)=(n-1)*([(n-1)/√5]+1)/2

Dnの周上の格子点の個数をLとするとL=n+[(n-1)/√5]で、内部の格子点の個数はSn-L。これらを踏まえてBにピックの定理を使うと、

S(B)=((n-2)+L)/2+(Sn-L-(n-2))-1
⇔Sn/n-√5/10n=((2-1/√5-{(n-1)/√5})n+(1-gcd(n-1,[(n-1)/√5]+1)-2dn)/(2n)

ここで十分大きいnに対して

∃c s.t.Sn/n-√5/10n>c>0

が示されれば題意は示される。」

進展と言えるものとしては「十分大きいnに対してn/√5≧dn」が示せたくらいです、、、。

No title

あ、(2)の最初の式は泥臭さを消して書いてあるから見えにくかっただけで普通に整数部分と小数部分に分けただけでしたね。

Re: 誤植の報告と質問

コメントありがとうございます~

誤植の指摘もありがとうございます~
修正しました~v-48


格子点問題なのでピックの定理を連想したようですが,何やらあまり相性が良くないみたいですね。
格子点を頂点に持つ多角形を無理矢理作ったために,gcd(n-1,[(n-1)/√5]+1)だとかdnだとか,
取扱いが厄介そうな対象が出てきてしまいました。
記事内にあるような変形を施せばk/√5の小数部分の考察に終始すれば良くなるので見通しが立ちやすいですが
gcd(n-1,[(n-1)/√5]+1)とかはどう攻めたらいいんでしょうね。
少し考えましたがあまり打開策が見いだせず。
なお,S(B)=((2n-6)+L)/2+(Sn-L-(n-4))-1ではないかと??
一応n=5,10あたりで検証してみましたがなんとなく辻褄が合いました。
(n=10だとS(A)=17/2,S(B)=14,S(A)+S(B)=45/2)
P[0],P[1],P[2]の部分で多角形が潰れているところに問題があるかと。

No title

何よりもまずこんな泥沼に付き合わせてしまってすみません。下手くそな解き方だと分かっていてそれを実行するのはエネルギー消費がヤバいですよね。計算ミスもしているようで、、、。余裕が出来たときにでも考え直そうと思います。

絶対模範解答ではないとはわかってはいましたが、dnに関する不等式が出たことから少し楽観的になってしまいそこからはいわゆるコンコルド効果というやつで数日ズルズル引きずってしまいました。gcdに関してはlcm同様何か解析的手法によって良い不等式が出るだろう、と思っていたのでこいつにあまりゴツい印象は受けませんでした(って、まだ出てないんですが笑)。

でもこれで「下手くそな解き方で出てくる式」が得られたので自動的に難問が一つ生成されたことになるみたいですね。
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n397617
にも書きましたが難しい問題を作るときこの考えに基づくことがしばしばあります。ですからこれをもっとじっくり考察してみてもっと綺麗な形の難問が出来ないか、とかも考えてみたいと思います。

とにかくまずは目の前の敵を倒せるよう頑張ってきます。

Re: No title

泥沼といいつつも新しい問題づくりへのヒントにはなったようなので,
実りは十分あったのではないかと。
ピックの定理を背景に,うまくいく方の変形と厄介な方の変形とが繋がることになるので
ピックの定理を隠してその2つが等しいことを示させる問題とか,そういうのを土台に更にアレンジするとか良さそうですね。

敢えて泥沼を突き進んでみる考察方針,個人的には嫌いじゃないです~
非公開コメント

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