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2016年京大特色入試第4問

2017.01.14 23:32|大学入試問題
どもども。

今回は去年の京大特色入試第4問です~ くりmini



問題: xy 平面上の格子点とは,その点の x 座標と y 座標がともに整数となる点のことをいう。
n を 2 以上の整数とする。 xy 平面上で不等式

で表される領域を  とする。   に属する格子点の個数を  とおく。
 例えば, n=5  のときは,領域 に属する格子点は (0,0),(1,0),,(2,0),(3,0),(4,0),(3,1),(4,1) の
7 個であるから,  となる。また,n=9 のときは,以下の図のように(図は省略)領域   に属する
格子点は全部で21 個あるから,  である。
以下の設問に答えよ。
(1)     を示せ。
(2) 以下の条件(H)を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
 (H) すべての自然数 n について,  が成立する。




前回の特色入試に引き続いて2016年も格子点の問題が出てきました~
 は3点  を頂点に持つ三角形の面積です。
この面積と格子点の個数  の比較をしていこうという趣旨の問題です。
格子点の分布と単位正方形による格子との対応を考え,領域の面積とそれに含まれる格子点の個数を比較する問題は
しばしば見受けられます。


eee1.jpg


eee2.jpg


直角三角形状の領域です。斜辺の上には原点以外の格子点はありません。
領域上で x 座標が k である格子点は 
の計  個です。[ ] はおなじみガウス記号です。
これを k=0,1,2,…,n-1 まで和を取れば  を表せますが,シグマ記号を含まない簡潔な形まで
式変形するのは苦しいです。
そこで,(1)ははさみうちの原理を用いて極限を考えていきます~ kusyami02.gif


eee3.jpg
eee4_20170114214149bfe.jpg




(2)はどんな実数 C を選んでも,条件(H)を満たさない自然数 n があることを示す問題です。
C≦0 の場合はどの n に対しても条件(H)を満たしません。
C>0 の場合が厄介です。もしもすべての n について条件(H)を満たすのだとしたら, 


が常に成り立つので,はさみうちの原理を用いれば 
が得られてしまいます。そこで,この極限が0に収束しないことを示せれば解決できそうです katorisenko02.gif
実数 x の小数部分を <x> で表すことにすると,



と変形できることに着目していきます~


eee5.jpg
eee6.jpg


数列   (n≧0) のはじめの数項を書き並べてみると, 0,0,0,1,1,2,2,3,3,4,…
この数列は同じ数字が2個か3個並んで,そして値は1ずつ増えていくという性質があります。
 だからですね。

 が成り立っているときに,  は N であるか N+1
であるかのどちらかということになりますが, N になるための条件は  で,
N+1 になるための条件は  です~ katudon.gif



eee7.jpg
eee8.jpg
eee9.jpg





が成り立っているときには,



が成り立ち,一方で



が成り立っているときには,



が成り立ちます。
そこで,  が成り立つ n を固定し, 
 となる k が2個であるような u 以下の非負整数 ℓ が α 個あり,
 となる k が3個であるような u 以下の非負整数 ℓ が β 個あると仮定すると,
 であるといえるので,これを利用して  を
上から評価します。その結果を使うと目標達成まで到達できます~ heri01.gif


eee10_2017011421020302c.jpg

eee11.jpg


なお, Weylの一様分布定理 という定理があり,その定理から数列  (n≧1) の項は
開区間 (0,1) の中で稠密に分布していることがいえます。



   
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