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2017年センター試験数学1A大問1

2017.01.17 13:23|大学入試問題
どもども。

土日に今年のセンター試験が実施されました。
国語が少し荒れたようですが,その他大荒れになる科目とかは特に無く(天候は荒れてましたが),
数学も1A・2Bともに著しい難化は見られず,素直な問題ばかりの解きやすく穏やかな内容になっていました。
とはいえ60分で解ききるためには,上っ面だけではないしっかりした内容理解と日々の実践練習が必要です。
うわ,これはエグいなぁ~という問題が無かった分,難関大狙いの人であればあるほど1個1個のケアレスミスの
重みが通常以上に合否に影響してきそうですね。

今回は数学1Aの大問1を見ていきます~ 箱ドットおにおんmini
「数と式」の計算問題,「集合」・「論理と命題」の分野,「2次関数」分野の3部構成です~


「数と式」の計算問題は対称式の計算に関連した基本問題になっています。
準備運動には程よいくらいでしょうか。
2数 a,b に関する対称式の値は基本対称式 a+b, ab の値が予め分かっていれば
これらの値を利用して求めていく
ことが出来ました。
例えば  といった変形を
非常によく使いますね。
 とした場合について考えるのが今回の問題です~
積は2ですが,和が分かっていません。代わりに  が分かっています。
積と2乗したものどうしの和が分かっていれば  の関係式から a,b の
和を出すことが出来ますね。和と積から2乗和を出すという典型パターンではなく,積と2乗和から和を出すという
流れになっていますが特に混乱はないでしょう。
また3乗和の計算では3次の因数分解公式  を用いる流れに
なっていますね。この公式は数2の内容になっている気がしますが,対称式の定番計算から

は容易に導けるので,数2なのでNGと断罪できる程度でもないのでしょう~
以前にも恒等式の係数比較のような設問もありましたしね。

eee12.jpg


上記のように解いていくとスムーズで良いのですが,色々な解き方を試してみようという趣旨に則って
別ルートも模索してみます car2_tank.gif

まずは上で既に述べてしまっていますが,  を使うという発想。

eee13.jpg



3次の因数分解公式や  を使う代わりに, 
 の両辺を3乗するという作戦もあります。
[ウ]は後から適当に方程式でも解いて埋めたらよいです。


eee14.jpg


4乗和の方も  の両辺を4乗する路線でも出せますね。
ほか,次数下げを活用する方法もあります。


eee15.jpg



また,そもそも方程式  を解いて x を求めてしまおうというシンプルな作戦もあります。
60分で解ききらなくてはならないこの状況で,このような作戦を選択するのは決して良策ではないですね。

eee16.jpg
eee17.jpg




続いては論理と命題分野です~~
今年はまるで教科書の例題のようなとても簡素なスタイルで出題してくれたので,
ややこしさゆえに混乱するという事態にはならなそうです cat_1.gif

条件pとqの内容はともにシンプル。
条件qは 「x=±1」 と同値なので置き換えてしまうと更に解きやすくなります。

はじめの設問はqはpの何条件か?の問いです。
p⇒q と q⇒p の真偽を考えても良いですし,集合の包含関係を考えても良いです。
どちらでも労はないでしょう~

残り3つについても同様です。
なお,  は 「x≠-1」 と同値で,  は 「x=-1」 と同値です。
数直線上のどの点が含まれるか考えたりするとイメージは湧きやすいかもしれません。
また,  が  の否定であることなんかに着目するのも悪くはないですね。

eee18.jpg
eee19.jpg



条件 r が追加になりましたがこれも 「x>0」 というこれでもかというくらいシンプルな条件です。
今年は論理分野を苦手としている受験生にとってはラッキー年でしたね hiyo_uru.gif



eee20.jpg




最後は2次関数分野です。
昨年よりはわずかに分量が多いですが,今年もとても易しいです。
少し前までは1大問まるごと2次関数で,場合分けを含む最大・最小のような面倒くさい問題も定番だったのですが
これは一体どうしたことでしょう~


文字定数 a を含んだ2次関数 g(x) についての問題です。
頂点の座標がはじめに問われています。 x 座標も y 座標も a を含んだ値になっています。
a が実数全体を動くときの各座標の最小値を求めようというテーマのようです。

x 座標は a の簡単な2次関数になっているので,もう1回平方完成すれば終了です~
y 座標は a の4次関数になっていますが,複2次式と呼ばれるタイプのものなので,誘導にあるように
 の置換を施すと t の2次関数に直せます~
わざわざ微分なんかを持ち出してくる必要はありません。
ただし,変数の置換を施した際には新変数の定義域を直ちに確認しておくことを忘れないようにしましょう~ kaeru_en1.gif
t の定義域は t≧0 なので,今度は平方完成しても頂点からは最小値は読み取れません。


eee21.jpg


易しい問題ではあるのですが,3つの設問で主役となる変数が x → a → t と次々と移り変わるので
抽象的な思考が苦手な人にとっては必ずしも易しくもないのかもしれませんね。

なお,  は係数がすべて正なので,落ち着いて考えてみれば
変数の置換などを考えなくても  
はすぐ分かったりします。


eee22.jpg



最終的に『 「g(x)の最小値」 の最小値16』を求めたことになりますが,
不思議なもので,この問題は変数にどの文字を使うかで実は難易度が変わってきます。
x と a を使うと,どうしても「 x が変数」,「 a は定数」に見えてしまいますね。そこで, x と a を入れ換えてみると,
関数  の最小値 m(a) の最小値を
求めよ,という問題に直せますが,これだけでだいぶ様相が変わるのです。
この形式で出題すると,たちまち微分とかやり始める人が多くなるのです。
 
(  )
より  を得るので m(a) は a=0 のときに最小値16をとることが分かります。
 の形式にすると
x と y は対等な変数に見えるのでこれは y について整理しようという気になってくれると思います。

ものの見方というのは重要ですね ny_ozouni.gif







   
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ジャンル:学校・教育

コメント

No title

センター試験、受けてきましたよ~
とりあえず、足切りはなさそうなので、一安心です。
自分が受けた試験を後から予備校などの分析を通して見直すというのも、なかなか感慨深い(?)ものですね。

さて、2次関数の分野は私はこの記事の最初の考え方で解いたのですが・・・
最小値が一瞬で分かるということ、数字をマークした直後に気づいてしまいました;
本来ならすぐ気づきそうですが、試験本番というのは(緊張感はないつもりだったけど)精神的に不安定なのでしょうか。
2次試験で問題の条件を見逃すなんてことがないように十分気をつけないとですねー

No title

コメントありがとうございます~

センター試験お疲れ様です~
一安心とのことなので,事故ってはいないようで何よりです~
今年は同じように一安心してる受験生が多そうなのでまだまだ気が抜けないですね。
問題が難化しないでくれたことは嬉しいですが,あまりにみんな出来すぎてしまうのも
それはそれで困ってしまいますv-15

センター試験は基本的には与えられた誘導に乗っていければ無難に解き進められるように出来ています。
(それが最短ルートというわけでは必ずしもありませんが~)
なので自然に解き進めていれば文字の置換をしていくルートを通るでしょうから
精神的に不安定とかそういう類のものではないと思いますよ~
「言われてみたらそうだよね」は自分も結構あります~v-476

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