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2017年センター試験数学1A大問3

2017.01.19 03:14|大学入試問題
どもども。

今年のセンター数学1A第3問を見ていきましょう~ げろ
場合の数・確率分野からの出題です~

今年も選択問題は数Aの確率,整数,図形から2題選ぶ形式でした。
クセの無さの観点からすると,図形が一番解きやすかった印象です~
今回取り扱う確率の問題は,くじ引きを題材にした条件付き確率がテーマになっています。
2年連続で条件付き確率が出題されました。

「くじ引きの公平性」を理解している人にとっては,だいぶ小賢しい解き方もしていける問題になっています kaeru_en4.gif
事象を3つの排反な事象の和事象の形に分解する問題が目新しいですね。

与えられている状況はA,B,Cの3人がこの順番にくじを1本ずつ引いていくというものですが,
くじが全部で4本しか無いというところをきちんと意識できていないとハマってしまいます m_0101.gif
4本中当たりとハズレが2本ずつあるので,今回は例えば次のような状況は絶対に起きません~

「3人とも当たり」
「3人ともハズレ」

換言すると,「必ず誰かは当たりを引く」とか「必ず誰かはハズレを引く」といったことが言えます。
よって,例えばAとBが当たりだとしたらCは必ずハズレを引くし,
AとBがハズレだとしたらCは必ず当たりを引くわけです。

3つの事象 X:「Aが当たりを引く」 Y:「Bが当たりを引く」  Z:「Cが当たりを引く」 
を考えます。上で挙げた注意により,下図のようないつも通りのベン図を書くと混乱を招きます。

fff25.jpg

 に当たる部分は今回は空でないといけません。



各設問を眺めていきましょう~
まずは(1)です。  を求める設問からスタートです。



のように計算しても良いですが,余事象の確率を利用するほうが計算は楽です~
「少なくとも~」→余事象 の発想は鉄板ですね

fff13.jpg


(2)は事象E:「当たりが2本出る」を3つの排反な事象に分けて確率を求める設問です。
視覚的に分かりやすくするためにベン図を用いてみましょう~
「3つの排反な事象」が一目瞭然になります~

選択肢がすべて「ハズレ」というキーワードを主体に書かれているところが分かりにくいですが
例えば「AとBが当たりを引く」と「Cだけハズレ」は同値な内容を指していることに注意しましょう~ m_0100.gif


fff14.jpg



(3)は  が起きたもとで  が起きる条件付き確率を求める設問です。
計算に必要な数値は出揃っているので,直ちに定義式に当てはめてしまいましょう~

fff15.jpg



(4)では再び3つの排反な事象に分解する設問が出てきます。
今度はベン図を見てもどう分割したらいいのか若干分かりづらいですね。
BとCに関する対称性なんかを意識してみると答えを見つけやすいかもしれません。
 の分解が分かれば,それと同様に  の分解も出来てしまいます。

fff16.jpg
fff17.jpg

ただ,3つの事象に分けろと言われたので分けて確率を足し合わせたわけですが,
(1)と同様で余事象を考えた方が楽だったりします


fff19.jpg



ここまでで得られた数値を用いれば(5)の設問にはすぐ答えられます~


fff18.jpg


3つの条件付き確率はすべて同じ値になりました。そもそも  も成り立っていたし,
下の確率を記入したベン図からも分かるように  なんかも成り立ちます。


fff22.jpg


これがいわゆる「くじ引きの公平性」ですね。
A,B,Cの順番でくじを引くので,この点においては3人は対等ではないのですが,当たりを引く確率は
3人とも同じなんです。先に引いた方が有利とかそういうのは無いんです。
同様に2人が当たりを引くという条件を考えても,どの2人が当たり引く確率も等しいです。
もちろん条件付き確率なども等しくなります。

不思議ですね~ m_0232.gif
しかしこれは,3人のくじの引き方が全部で何種類あるかを考え,そのうちAが当たりであるものが何種類あり,
Bが当たりであるものが何種類あり,Cが当たりであるものが何種類あるかと考えてみると,
3人それぞれ当たりになる引き方の数は同じだということに由来します。

3人のくじの引き方は  通りあり,これらの置き方は同様に確からしいです。
このうち,Aが当たりである引き方はAが2通り,BとCはどちらが出ても構わないので3×2通りとなり,
  である,という見方が出来ます。
Bが当たりである引き方も同様に,Bが2通り,AとCで3×2通りとなり,
  です。
Cが当たりである引き方も同様に,Cが2通り,AとBで3×2通りとなり,
   です。
ただの順列の問題にすり替えてしまえば,もはやくじを引く順番の話などどうでも良くなってしまい,
3人は互いに対等な存在になります。そりゃ各種の確率の値も対称性を持ちます rabi_smile.gif
この順列を用いた考え方で確率を求める設問を解き直してみましょう~





fff20.jpg
fff21.jpg



くじ引きの公平性を逆手に取れば, [スセ] と [ソタ] の空欄は計算すらせずに [アイ] の  を
入れるだけで終わってしまいますね。最後の [チ] も何の躊躇いもなく  を選択すれば良い
ということになります tankoro.gif

また,Aがハズレの確率は  はすぐ分かるので,公平性からB,Cがハズレの確率もそれぞれ  です。
Aだけハズレの確率は  なので,公平性からBだけハズレ,Cだけハズレの確率もそれぞれ
 です。よって,3つの和事象に分ける問題の選択肢は,0と2と4が確率  で,1と3と5が  です。
[ウエオ] より先に和事象の確率  を求めてしまえば, [ウエオ] は  のパターン以外
考えられないので自動的に1,3,5を選べばいいことが浮き彫りになってしまいます tanuki.gif
[コサシ] は足して  になるのが1通りではないので,自動的に決定とまではいかないですけどね。




最後にまた別の見方として,A,B,Cの3人を主体として考えるのではなく,4本のくじを主体として考えてみます。
4本のくじを「当たりa」,「当たりb」,「ハズレa」,「ハズレb」としたとき,
これら4本と「Aに引かれる」,「Bに引かれる」,「Cに引かれる」,「引かれずに余る」の4つの結果の間に
1対1対応が生まれます。それは 4!=24(通り) あるわけですが,
これら24通りの起こり方は同様に確からしいと言えます。
当たりaが,「Aに引かれる」,「Bに引かれる」,「Cに引かれる」,「引かれずに余る」のどれとペアになる確率も等しく,
当たりbについても同様です。
結果として,「Aが当たりを引く」,「Bが当たりを引く」,「Cが当たりを引く」,「当たりが余る」の4つの事象はどれも
起こりやすさが同様に確からしいと言えます。
この4つのうち2つが起きるのだから,全体の場合の数を  通りとして考えていくことも出来そうです nezumi02.gif





また,Eが起こるというのは「ハズレが余る」とも同値です。4枚のうちどれが余るかは等確率なので,
ハズレが余る確率は  と求めることも出来ます~



fff23.jpg



ここで考えた分母の6通り。
今回の3人のくじの引き方はたった6通りしか無いのだから
全部書き出してしまうのも十分ありな作戦だと思います。

A ○  B ○  C ×
A ○  B ×  C ○
A ×  B ○  C ○
A ○  B ×  C ×
A ×  B ○  C ×
A ×  B ×  C ○

この6通りは起き方が同様に確からしいです。
当たりとハズレの枚数が同じだからですね。
枚数が異なってくると話は別なので注意です。
この書き出しさえ終われば後はもはや計算が要らないですね。
[アイ] は6通りのうち5通り分だから  みたいな感じでサクサク答えが出せます。
凄まじく易しく問題を解決できるアプローチですが,意外と気付かないかも?




  

 
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