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2017年センター試験数学1A大問4

2017.01.21 04:37|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学1A第4問を見ていきます~ 箱ドットおにおんmini
整数分野ですね~

今年は不定方程式は出題されず,倍数の見分け方がテーマの前半と,約数の個数がテーマの後半の
大きく二部構成です。

前半は整数が4で割り切れるための条件,9で割り切れるための条件,これを知らないとほぼ詰みです。
面白いところから切り込んできたなという印象ですね。

まずは参考までに15の倍数までの判定法を挙げてみましょう~ buta.gif

1の倍数 → すべて
2の倍数 → 1の位が偶数
3の倍数 → 各位の数字の和が3の倍数
4の倍数 → 下2桁が4の倍数
5の倍数 → 1の位が0または5
6の倍数 → 2の倍数かつ3の倍数 → 1の位が偶数で,かつ各位の数字の和が3の倍数
7の倍数 → 3桁ごとに区切って,「奇数番目のグループの数の和」と「偶数番目のグループの数の和」の差が7の倍数
8の倍数 → 下3桁が8の倍数
9の倍数 → 各位の数字の和が9の倍数
10の倍数 → 1の位が0
11の倍数 → 「偶数桁目の数字の和」と「奇数桁目の数字の和」の差が11の倍数
(11の倍数その2) → 3桁ごとに区切って,「奇数番目のグループの数の和」と「偶数番目のグループの数の和」の差が11の倍数
12の倍数 → 3の倍数かつ4の倍数 → 各位の数字の和が3の倍数で,かつ下2桁が4の倍数
13の倍数 → 3桁ごとに区切って,「奇数番目のグループの数の和」と「偶数番目のグループの数の和」の差が13の倍数
14の倍数 → 2の倍数かつ7の倍数 → 下1桁が偶数で,かつ3桁ごとに区切って,「奇数番目のグループの数の和」と「偶数番目のグループの数の和」の差が7の倍数
15の倍数 → 3の倍数かつ5の倍数 → 各位の数字の和が3の倍数で,1の位が0または5



1,2,5,10の場合は言うまでもないでしょう。
3の場合も非常によく使うので知名度があると思いますし,知っていて欲しいです。
今回登場した4,9の場合もそこそこ知名度はあるはずです。
ていうかこうしてセンターで出題されるぐらいですので,ぜひ知っていて欲しいですね。
2,4,8の場合を含め,  の倍数は下k桁が  であることで判定できます。
7,11,13の場合がややこしいです。でも覚えてなくても大学入試では困ることはまず無いと思います。
言葉の説明だけじゃ分かりにくそうなので具体例を挙げてみます。
013132309 について, (309+13)(132+8)=182 が7の倍数なので,元の数も7の倍数です。
 について, (4+3+3+3+0)(1+2+1+1+8)=0 が11の倍数なので,元の数も11の倍数です。
013132314 について, (314+13)(132+8)=187 が11の倍数なので,元の数も11の倍数です。
013132309 について, (309+13)(132+8)=182 が13の倍数なので,元の数も13の倍数です。
7,11,13は同じようなノリでやれるのは良いですね。
ただ11の倍数は初めに挙げた方法のほうが計算はし易いですかね。



今回登場の4の倍数と9の倍数の判定法の実証をしていきます~
3桁・4桁の整数を取り扱うので n≧3 として n 桁の整数を例に取ってみます。

hhh1.jpg


では(1)に適用してみましょう~


hhh2.jpg


この程度であれば判定法を知らなくてもどうとでもなりますね。

(2)からは判定法を知らないと苦しいです。
2でも3でも2回割り切れるか調べても判定できますが,時間がかかってしまいます
判定法を知っていればあっさり解決です。
まぁ知らなかったとしてもその場で発見できればいいのですが,センター本番の焦りと慌ただしさの中では
なかなか酷な要求かもしれません。

(b,c) の組は結果として3個出てくるのですが,数が少ないので残りの設問はさほど労はないと思います~


hhh3.jpg

hhh4.jpg



なお,7000以上8000未満の平方数のうち,36の倍数であるものがそもそも1個しかありません。
[クケコサ]はそっちから攻めていく作戦もありだと思いますし,判定法を知らない人でも1つの (b,c) を見付けられる
ヒントになっていますね eto_mi.gif

hhh7.jpg

7056は7000に割と近いので,恐らく最小の7b5cであろうという予想もできます。
それが正しいことを確かめるのも容易です。
ということで,判定法で詰んだ人でも [エオ] の値を埋めることが出来ますね。

では本当に判定法を知らないと手立てはないのか,詰みなのか,を考えてみたいと思います。
判定法を用いずに攻めてみる方法はないか検討してみましょう~ kawauso.gif

4でも9でも割り切れるということはつまり36の倍数です。7000以上8000未満の36の倍数は
最小で 36×195=7020, 最大で 36×222=7992 なので,合計28個あります。
これらのうち10の位が5であるものをひたすら虱潰しに調べていく。
そういう作戦は考えられますが,……28個でもしんどいですね。
もう少し調べる個数を減らせないものでしょうか。

7b5c=7050+100b+c が36の倍数だとしたら, 7020+36k ( k は非負整数) の形で
表せるはずです。このことから, 100b+c=6{6(k-1)+1} が得られます。
b0c 型の整数のうち 6×(6で割ると1余る整数) の形のものを見つけ出せば良さそうです。

hhh5.jpg
hhh6.jpg

調べる候補が17個まで減らせました。
でもこれでもまだしんどい気がします。もっと減らせないでしょうか。

さっき出てきた 7050+100b+c=7020+36k ですが,36を法とする合同式を考えると
c≡8b+6 (mod 36) が得られます~
b=0、1,2,…,9 としたとき 8b+6 を36で割ったときの余りが1桁の整数になるものを探せば良いですね kaeru_yodare1.gif
これなら調べるのは10個だけなので,なんとか許容範囲内でしょうか。



hhh8.jpg


ただ,このような作戦に辿り着くまでに時間を要するだろうし,このような手法が思いつくような人なら
普通に4の倍数と9の倍数の判定法くらい知っているでしょう。
したがって,やはり判定法を知らないと概ね詰みです。
とは言っても [クケコサ] と [エオ] が埋められることは先程述べましたし,最大の7b5cも
36×222=7992 から1個36の倍数を遡るだけで 7992-36=7956 を見付けることが出来ます。
…という事は [カキ] も埋められる。 
結局 [ウ] 以外は埋められるんですね。概ね詰んでいるのは何と [ウ] だけだったのです rabi_right.gif





(3)からは話がガラリと変わり,約数の個数がテーマになります。
自然数の正の約数の個数の求め方は受験用テクとしてよく知られていますね。
例えば  の正の約数の個数は各素因数に付いている指数に1を加えた数字たちの積
つまり (3+1)×(2+1)×(1+1)=24(個)です。
(指数+1) たちの積であることは習ったから知ってるけど,理由は答えられない!
という受験生も意外といるようです。しかしそれでは今回の問題で [セソ] や [タ] を埋めていけなくなります。
理由を知らず公式だけ知ってる人を篩い落とせる良い問題ですね wahakapa.gif
まぁ書き出しでもギリギリ処理は出来そうです。

360の正の約数はすべて  の形をした自然数です。よって,指数の組 (A,B,C) が
何通り考えられるか調べる話にすり替えることが出来,Aは0,1,2,3の4通り,Bは0,1,2の3通り,
Cが0,1の2通りであることから積の法則により  (3+1)×(2+1)×(1+1)=24(個) になるわけです。
ということは,正の約数のうち2の倍数はAが特に1,2,3のいずれかであるものとして捉えられます。
4の倍数はAが2か3であるものです。

そしてそれらを踏まえて最後,正の約数すべての積を考えます。
相当大きな数になることが予想できますし,手が止まってしまう人もいたでしょう。
この積を2進法で表したときに末尾に0がいくつつくのかという設問が最後に待ち構えています。
2進数表記において10で何回割れるかということですね。

ポイントは2進数の10とは10進数の2であること,そして10進法で奇数である数は2進法では末尾が1であることです。
よって10進法で  の形で表される数は2進数に直すと末尾に0がN個つく数になります。
1188の正の約数全体の積で一体幾つの2が掛け合わされるのか,そこさえ分かれば解決です~ whale.gif



hhh9.jpg



上の解法では P の具体的数値は求めませんでした。誘導に乗れば具体的数値を出す必要も無かったです。
でも実は  と簡単に求めることが出来ちゃいます kaeru0-02.gif
一体なぜでしょうか?


等差数列の和の公式の作り方と似た発想ですが,1188の正の約数を小さい順に並べたものと
大きい順に並べたものを考えます。

1,2,3,4,6,…,1188
1188,594,396,297,198,…,1

左から1番目どうしの積,左から2番目どうしの積,左から3番目どうしの積,…,左から24番目どうしの積は
すべて1188なのが分かるでしょうか。
このことから,正の約数すべての積の2乗について,  が成り立つことが分かります。
このことから   が得られるのですね。
このことに着眼して最後の問題を解くことも出来ます。


hhh10.jpg













   
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