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2017年センター試験数学1A大問5

2017.01.22 13:05|大学入試問題
どもども。

今回も今年のセンター数学1Aをやっていきます~ 算数mini
第5問,これでラストですね。図形分野の問題です~
選択問題3つの中では一番クセのない素直な問題でした。

いわゆる「図形の性質」の単元からの出題なのですが,(2)はだいぶ「三角比」の要素が強いです。
方べきの定理,メネラウスの定理,余弦定理,内接円半径の公式で解決できます~

まずは王道路線でひと通り解き進めてみます kaeru_en1.gif
(1)は積 CE・CB を求めるところからスタート。方べきの定理を使ってと言ってるようなものですね。
この結果からBE,CEの長さが分かり,この2線分の長さの比も分かります。
すると△ABCと直線EFに関してメネラウスの定理を適用することにより, BF:AF も算出できます。
これでAFの長さも分かるので(1)はそれだけでおしまい。

hhh11.jpg


(2)はまず ∠ABC の大きさが聞かれています。余弦定理で出すだけ。
これはどちらかと言うと第2問の立ち位置で出題すべき問題のような気もしますが~
△ABC の内接円の半径を求める空欄に続きます。
  の形で公式として覚えてしまっている人も多いでしょう。
これは公式の導き方とセットで覚えて欲しいですね。 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA と分割して考えるのでした。
最後はBIの長さを求める設問です。内心Iから辺BCへ垂線を下すと,内角が30°,60°,90°のおなじみの三角形が
出現するので BI=2r で瞬殺です~ m_0102.gif


hhh12.jpg


では今回も別ルートでの解法を検討していきます~
先程見たように,(1)は方べきの定理から始まります。方べきの定理が思い浮かばなかったとしたら
どのように解いていけばよいのでしょうか。
そもそも方べきの定理は名前こそかっこいいですが,ただの相似な三角形の線分比の関係式に過ぎません m_0195.gif
今回で言うと △ABC∽△EDC ですね。方べきの定理という形で気付かなくてもこの相似にさえ気付ければ
同等の解法は見い出せると思います。
この相似関係にも気付けなかった場合を想定してみます。
答えに到達するまでの手数がだいぶ増えてしまいそうですが考えてみましょう~

下図のように垂線AH,DJを引いてみます。
何らかの過程からCJとEJの長さが求められれば CE=CJ-EJ で [ウエ] が埋まります。
円に内接する四角形の性質から ∠BED=180°-∠BAD なので,
余弦定理で cos∠BAD を出せば自ずと cos∠JED の値も分かります。
△ABC∽△EDC を使えばDEの長さはすぐ分かるので JE=DEcos∠JED が求められますが,
いまは △ABC∽△EDC には気付いていない設定なので DJ の長さを先に出す方向を考えてみます。

少し後に ∠ABC=60° を求める空欄があるので前倒しで求めてしまうと,  の線分比から
AHの長さが出せます。 DJ // AH より, DJ:AH=CJ:CH=CD:CA=4:7 が成り立つので
DJやCJの長さが出せます。これでCEを求めていけますね。

なお,DJやCJの長さは,余弦定理で cos∠ACB を求めてから DJ=DCsin∠ACB,CJ=DCcos∠ACB
によって求めていくことも出来ますね。


hhh13.jpg



今度は対角線AE,BDを引いて考えてみます~
△ACE∽△BCD に気付ければ,相似比が AC:BC=7:8 であることから  が
簡単に得られますね。この作戦は答えに到達するまでのステップ数も少ないので悪くないです m_0151.gif
△ACE∽△BCD に着目しないとしたら,例えばメネラウスの定理と角の二等分線の性質を使って
DE:CE=3:7 を導いてみたり出来ます。
そこから先は△DECに余弦定理を用いて立式,だとか△ABEと△ADEに余弦定理を用いて立式,などを
考えてみるとよいでしょう~


hhh14.jpg
   hhh15.jpg




[オカキ],[クケコ]  の別ルートも模索してみましょう~
CE・CBを求めるときと同様に方べきの定理を使ってみる作戦は立てられそうです。
FA・FB=FD・FE に着目するんですね。


hhh16.jpg
        hhh17.jpg

途中で出てきた FA:FE=2:3 は角の二等分線の性質を使って FE:BE=FA:AB からも導けます。


また,はじめの解法はメネラウスの定理を1回使うだけで答えを出していますが,
2回に分けて適用するという手もあります。


hhh18.jpg



面積比に着目するという手も有効です niwatori.gif
BF:AF=△BEF:△AEF を求めてみましょう~


hhh19.jpg




ここからは(2)の別ルートを考えてみます~

まず ∠ABC=60° は余弦定理を使わずに  の線分比から見い出すことも出来ます。

hhh20.jpg


内接円の半径 r を出す方法ははじめにやった解法が鉄板ではありますが, ∠ABC=60°であるがゆえに
その2等分角も30°という都合のいい値をしているので,これを利用していく方針もとれます。
はじめの解法ではBIの長さを求める段階でこれを利用しましたが, r を求めるのにも使えるんですね。

分かりやすいとこでは,内接円絡みの問題でよく使う性質ですが,下図において 

が成り立つことに着目するとよいです。  の長さが分かればよいです aicon_bbs18.gif



hhh24.jpg
  hhh12a.jpg



AKは ∠BAC の二等分線,BI は ∠ABC のニ等分線なので,角の二等分線の長さを求める公式
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-62.html
を利用することも出来そうです。



hhh21_20170122124658fa1.jpg
hhh22.jpg


角の二等分線の長さを出す場合,公式を使わなくても面積公式や余弦定理を使って求めることが出来ます。
広く知られているのは上記の手法よりはこちらだと思います~


hhh23.jpg





用意された誘導に乗れれば楽勝,そうでないと少し面倒になる,
そういう問題でしたね buta(2).gif











 
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