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2012年東工大入試数学 第2問その2

2012.10.26 00:00|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年の東工大入試の数学第2問をやっていきます~~

問題はこちら~箱ドットおにおんmini
mon2.jpg

今回は(2)をやります~

ガウス記号がらみの整数問題です~
[x]はxを超えない最大の整数を表します,ていうのは応用問題でよく出てきますね~
おそらく苦手な人が多いかと思います~~bakeneko.gif

整数部分を表すので例えば[5.34]=5,[π]=3,[6]=6のようになります。
負の数のときは要注意で,[-3]=-3とかは良いですが,
[-2.5]=-3であって,-2ではありません。
(-2.5を超えない最大の整数は-3ですね)


幸いにも今回は正の数ばかり出てくるので,負の数のややこしさに遭遇することは
ありませんが,[√n]という形で,[ ]の中にルートが出てくるのでこれはこれで厄介そうです。

[ ]の中に無理数が混じってくるともう分からないッ
そんな人は多いのではないでしょーーかbenibara.gif


今回の問題はn≦10000を満たすnの中で,[√n]がnの約数になってるものは
いくつありますか~~?というものであります。
文章で言われてもよくピンと来ませんね。

n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnは何個だニャ??neko(1).gif

と聞いているわけですよー!!
…と言われても結局ピンとこなかったりしますか~?>w<

そういうときは,いくつか実験してみましょうonpu06.gif

n=1のときは,[√1]=1で,1=[√1]×1 なので条件を満たしますね。
n=2のときは,[√2]=1で,2=[√2]×2 なので条件を満たしますね。
n=3のときは,[√3]=1で,3=[√3]×3 なので条件を満たしますね。
n=4のときは,[√4]=2で,4=[√4]×2 なので条件を満たしますね。
n=5のときは,[√5]=2で,5=[√5]×5/2 なので条件を満たしません。
n=6のときは,[√6]=2で,6=[√6]×3 なので条件を満たしますね。
n=7のときは,[√7]=2で,7=[√7]×7/2 なので条件を満たしません。
n=8のときは,[√8]=2で,8=[√8]×4 なので条件を満たしますね。
n=9のときは,[√9]=3で,9=[√9]×3 なので条件を満たしますね。
n=10のときは,[√10]=3で,10=[√10]×10/3 なので条件を満たしません。
n=11のときは,[√11]=3で,11=[√11]×11/3 なので条件を満たしません。
n=12のときは,[√12]=3で,12=[√12]×4 なので条件を満たしますね。
n=13のときは,[√13]=3で,13=[√13]×13/3 なので条件を満たしません。
n=14のときは,[√14]=3で,14=[√14]×14/3 なので条件を満たしません。
n=15のときは,[√15]=3で,15=[√15]×5 なので条件を満たしますね。
n=16のときは,[√16]=4で,16=[√16]×4 なので条件を満たしますね。


はじめのうちは条件を満たす数が多いですねー。
nが大きくなるにつれて条件を満たさない数が増えていきます。
[√n]って一見難しそうに見えますが,上の例をみてみると
どうやらnが平方数1,4,9,16,25,……,に到達する度に1個ずつ
値が大きくなっていくようですねbeen.gif



任意の自然数nに対して,n以下で最もnに近い平方数というものが取れます。
それをk^2とすると, k^2≦n<(k+1)^2 が成り立ちます。
このとき,k≦√n<k+1が成り立ちます。
k以上 k+1未満の実数は k+r (0≦r<1)の形で書ける,
すなわち小数表示で, k.*******… の形で記されるので
[k+r]=kになりますね。
したがって, [√n]=k となります

d1_20121025165255.jpg


1≦n<4ならば, [√n]=1
4≦n<9ならば, [√n]=2
9≦n<16ならば, [√n]=3
16≦n<25ならば, [√n]=4
……
98^2≦n<99^2ならば, [√n]=98
99^2≦n<100^2ならば, [√n]=99
n=100^2=10000ならば  [√n]=100

となっています。 n≦10000=100^2 までの範囲で考えるので
最後の[√n]=100のところだけ,ちょっと他と様子が違います
[√n]=100となるnは,範囲内にはn=10000の1個だけです。


さて,いま問われているのは,
n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnの個数でした。
k^2≦n<(k+1)^2 の範囲にあるnについては
[√n]=k なので,n=k×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるもの,
つまりnがkの倍数になっているようなものが条件を満たします。
k^2≦n<(k+1)^2 の範囲にあるkの倍数は何個か数えれば
OKというわけですね~~aicon_80.gif

k^2=k×(k+1)^2-1=k×(k+2)なので,
その間にあるkの倍数はk×(k+1)だけです。

1から99までの各kに対して,n=k^2,k(k+1),k(k+2)の3個ずつ条件を満たすnが対応するので,
3個×99 と,それにk=100に対応するn=10000の1個を足して298個が答えになりますnezumi02.gif

d8_20121025175838.jpg

d2_20121025165255.jpg



他のアプローチ方法を模索してみましょう~

条件を満たすnを書き連ねてみて様子を探ってみる

条件を満たすnを小さい順に書き連ねてみます

1,2,34,6,89,12,1516,20,2425,30,3536,…

3個区切りで見てみると,どのグループも最初が平方数k^2
3番目が次の平方数(k+1)^2の1個手前の(k+1)^2-1
そして2番目がこれら2個の平均の値になっています。

これら3タイプの自然数が条件を満たすこと,
およびそれ以外の自然数は条件を満たさないことを言えば
条件を満たす自然数の絞り込みは完了ですtentou01.gif



d3_20121025165255.jpg

d4_20121025165256.jpg





n=[√n]^2+p とおいてみる

k^2≦n<(k+1)^2 を満たすnは[√n]=kとなってしまうのでした。
したがって,任意のnに対して,
[√n]^2≦n<([√n]+1)^2=[√n]^2+2[√n]+1
が成り立ちます。
したがって,n=[√n]^2+p (0≦p<2[√n]+1)
の形でnを表現できますjyugon.gif

pがどのような条件を満たすときnは[√n]の倍数になるのでしょう。
ズバリ,pが[√n]の倍数であるときですね!
0≦p<2[√n]+1 であるので,pの候補はp=0,[√n],2[√n]
の3個です。


d5_20121025165256.jpg
d6_20121025165257.jpg







関数f(x)=x/[x] を考える

n=[√n]×ℓ (ℓ:整数) の形で書けるnを数えるので,
n/[√n]が整数になるnの個数を数えることと同義です。

そこで,関数f(x)=x/[x](x>0)を考えてみます。
f(n)が整数値になるnの個数を求めますkinkan.gif

何やらパッと見は難しそうですが,
k^2≦x<(k+1)^2 のとき,1次関数 f(x)=x/k となるので
実はそんなに厄介ではないです。
さらに,この範囲において f(k^2)≦f(x)<f((k+1)^2 )
が成り立つので, k≦f(x)<k+2+1/k
となります。
このとき,f(x)の取り得る整数値はk,k+1,k+2ですが
そのときのxはそれぞれk^2,k(k+1),k(k+2)で,
こちらも全て整数値です。よって3個のnが条件を満たすようです


d7_20121025165307.jpg








次回は大問3に挑戦です~aicon_bbs18.gif







          
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 整数問題 ガウス記号 約数 無理数 平方数

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