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2017年センター試験数学2B大問1

2017.01.30 00:22|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第1問を見てみます~ げろ
今年のセンター数学2Bは1Aと同様に穏やかな内容でした。
特に難問というほどの設問もなく,第4問のベクトルは昨年の追試の問題を優しくしたような問題です。
対数が第1問と第3問,積分が第2問と第5問と複数大問に登場するあたりは新鮮だったかもしれませんね。

今回は第1問ですが,前半は三角関数,後半は指数・対数関数という2部構成です~
2部構成は例年通りの展開ですね。
どちらも方針に迷うことは少なそうで猛進できそうです。


前半の三角関数は α と β に関する連立方程式を解くという内容で,
2次方程式の解と係数の関係と結びつけて考えていくとすれば「式と証明」の単元との融合問題とも言えます。
まずはごく自然な流れで最後の空欄まで解き進めてみます~

はじめは2倍角の公式を使うことを問題文で言ってくれているので,とても親切な誘導になっています。
この計算から  の値が分かり,次の空欄で  の値が分かるので,
これで  の和と積の値が分かったことになります。
解と係数の関係から  を2解に持つ2次方程式が構成できるので,それを解きます。
 から  が従うので,これに適するように  の
値を求めましょう。
 を求めておしまいですが,符号の決め方には注意しなければいけません。
埋める空欄の形から結果が予想できてしまうのが悲しいですが,  
から  を見い出します~


iii1.jpg


別ルートを模索してみましょう~
この大問で恐らく一番解法の選択が割れそうなのは,
解と係数の関係を用いて2次方程式を構成する部分だと思います。
普通に1文字消去の手法で解いた人も多いでしょう bakezouri.gif
はじめの解法と比べても特に大きな差もありません~
大小比較の吟味に注意しましょう。


iii3.jpg



最終的に  の値を出すのですが,はじめの解法では一旦  の値を出す
という過程を経由しました。はじめから  の和と積からこの2つを解に持つ2次方程式を立てる
方針でもいいのではないかという発想はあると思います car2_tank.gif
ただ,そちらの方針で攻めると2重根号を外す作業や  であることの吟味などの作業が
必要になるので少し面倒です。はじめに  の値を出した意図というのが見えてきますね。


iii2.jpg



最後は少し特殊な解法を試してみます。
例えば  のような条件式が与えられたとき, 
のようにおいて問題を解いていくという手法がしばしば用いられます。
今回は  という関係式があるので, 



という置き換えが可能です。これで α と β という異なる角度を扱う煩わしさから解放され, θ に一本化できます body_run.gif
θ の範囲としては,  から  とおけます。
更に,  から  にまで絞り込めます。
ただ,このような角度の絞り込みに注意を払うところがちょっと面倒ですね。


iii4.jpg
   iii5.jpg



後半は指数・対数分野の問題ですが,「図形と方程式」の単元との融合になっています~
まずは自然な流れで解いていきます hikari_pink.gif

AとBの座標から内分点の公式を用いてCの座標をまず出します。
それが  と一致することから x 座標と y 座標についてそれぞれ方程式が立ち,
p と q に関する連立方程式が出来上がります。
前半に続いてまた連立方程式の問題ですね。
 を使って p を消去してといていくというのが手順としては分かりやすい気がします。
連立方程式を解くと最後に  の近似値を求める設問が待っています。
底は2の対数なんですが,参考として挙げられているのは底が10の対数,つまり常用対数です。
わざわざ常用対数にしたのは底の変換がちゃんとできるかといった点を試す目的があったんでしょうか。
また教科書の巻末に載っているのは大体常用対数と自然対数ですからね。
引っ掛けで  の値も付記しています。方程式を解き間違うと  が必要な値でも出てくるのかな?
よく分からないですがとりあえず  は使わないで答えが出せます。


iii6.jpg
iii7.jpg


ほとんど1本道で答えまで到達できるので,前半と同様であまり多様な解法バリエーションはなさそうですね。
内分の公式を使う代わりにベクトルの成分表示を活用してみるとか,あるいは平行線と線分の比の関係式を
活用してみるとかでしょうか。
個人的には,内分の公式はそうでもないですが外分の方はなんか面倒なので,外分点を出すときは
よくベクトルを使います hiyob_hat.gif



iii8.jpg
iii9.jpg


連立方程式が立った後は,一旦  に関する連立1次方程式にしてしまうという作戦はあると思います。

iii10.jpg



















   
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