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2017年センター試験数学2B大問2

2017.01.30 14:01|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第2問を見ていきます~ ぺんぎんmini
例年同様,第2問は微分・積分の分野からの出題です~
今年はやや微分側の方が分量多いですね。
特に目立った難問もなく,計算量も多くなく,とても解きやすい印象です。


P(a,2a) は直線 y=2x 上の点です。まず放物線 C とこの直線 y=2x の位置関係を確認しておきます。
交点の x 座標が x=1 のみであることから, C と直線 y=2x は点 (1,2) において接しています~
後でPを通る C の接線の方程式を求める設問が出てきますが, a の値によらず y=2x はそのような接線の
1つになっていることがこの時点で既に分かってしまいます。


iii11.jpg


まずは自然な流れで最後まで解き進めてみます~
(1)ではPを通る C の接線を求めることがゴールになっています。
接点の座標が未知なので, x 座標を t とおきます。標準的な手法ですね。
x=t における C の接線の方程式を求め,それがPを通るという条件から t に関する2次方程式が立ちます。
C は2重接線を持たないので,2本の接線が引けるためには2個の接点が必要です。
したがって、この2次方程式が相異なる2個の実数解を持てばよいです。
y=2x は必ず接線になっていたので,接点 (1,2) から t=1 が解に含まれることは既に分かっています。
 が出てくるので,  とすればよいわけです。
判別式>0 から  を求めてもよいですが,どうせ2解も求めなければいけないので
前者の方が速いですね。
これで a の条件や接線の方程式が得られます。

(2)は△OPRの面積 S の最大値を求めようという趣旨になっています。
接線 ℓ の方程式はもう出ているので,その y 切片が r です。
r>0 という不等式を解けば 0<a<1 が得られます。
△OPRは辺ORを底辺とみなすと 底辺×高さ÷2 のおなじみの手法で面積がすぐ求められます。
これが a の3次関数になっているため,微分して増減を調べれば S の最大値が分かります。

(3)は積分を使って面積 T を出し,それの増減に関する設問に答えるという内容です。
まずは積分計算で T を求めましょう。
[フ] に a が入るのがちょっとずるい感じですね。いかにも数字が入るっぽい見た目になってるのに!
S と同様に, T も a の3次関数になっているため,微分して増減を調べれば
問われている範囲においては T が単調に増加していることが分かります。


iii12.jpg
iii13.jpg
iii14.jpg
iii15.jpg




では今回も別ルートを検討してみます。
(1)は,Pを通る接線の方程式を求めるものでした。
Cは放物線なので,その接線を求めるには微分する方法以外にも,判別式を使う手法があります hiyos.gif
Cは y 軸に平行な接線は持たないので, x=t における接線はその傾きを m とおくと,

と表わせます。これとCの方程式を連立し y を消去すれば,Cと直線の共有点の x 座標を求める
2次方程式が得られます。接するのだとすれば共有点は1個なので,2次方程式の判別式の値は0になります。
この条件から m の値を決めることができ,空欄 [アイ] が埋められます。


iii16.jpg


一方でPを通る接線も判別式を用いる発想からも攻めていくことができます。
せっかく [アイ] を求めているのだから,わざわざこちらを判別式を用いて計算する必要はないのですが
誘導のない記述試験であればこちらの手法も悪くはないです。
求める接線の傾きを n として,「Pを通る傾き n の直線」の方程式を立てます。
これとCの方程式を連立し y を消去すれば,Cと直線の共有点の x 座標を求める
2次方程式が得られるので,これの判別式の値は0になります。
この条件から空欄に入る値を次々求めていけます。

「Pを通る」という条件を後で使うのがはじめの解法で,最初に使うのが今やっている解法です m_0001.gif



iii17.jpg


(2)は△OPRの面積 S の最大値を求めるものでした。
△OPRは1つの頂点が原点なので,残りの頂点が  ならば
その面積は  で計算ができます。
このことからも S が求められますね。


iii18.jpg


積分計算でも S を計算できますが,流石に大袈裟な感じがしますね。
一方で(3)の T の方は計算の方法が色々バリエーションがありそうです

まずは台形を引くという発想。

iii19.jpg


続いて S を引くという発想。


iii20.jpg



なお,  の形を経由していますが,積分区間が [0,a] という下端が0であるものなので,
気を利かせず素直にやった方が実は楽です。はじめの解答もですね。


iii21.jpg


よく知られた計算テクニックの活用も可能です korobo.gif
 公式の友達みたいな面積公式が色々ありますが,それらが使えます。
接点のうちの1つ  は a が  より大きいか小さいかによって
第1象限にあったり第2象限にあったりします。どちらにあっても成り立つように立式します。
今回の放物線と2接線で囲まれた図形の面積に関しては下の図において  
が成り立ちます。

iii22.jpg


また下の図において  が成り立ちます。
このとき,  によって T が計算できます~ kojika.gif


iii23.jpg



この  という点に着目すると,最後の T の様子を探る問題は計算要らずで
結論を出すことができます。
聞かれているのが  における増減の様子です。つまり S が最大値をとった後の話です。
はじめの解答で(2)の段階で S の増減表を書いていましたが, S は  で最大値をとった後は
ずっと減少しています。また,図形の形状からも面積の値からも,  もまた単調に減少していることが分かります。
 は定値ですから,引く値がどんどん小さくなるということは T はどんどん増加していきます m_0034.gif



iii25.jpg


極値をとる a の値を求めて増減表を書いて考えることもできます。
極値自体を求める必要はありません。


iii26.jpg




取り組みやすい問題でしたね。なるべく失点せずに先に進みたいです~
ところで,点Pが出てきてQが出てこずRに飛ぶのは何なんでしょう~



   
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