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2017年センター試験数学2B大問3

2017.02.05 23:41|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第3問を見ていきます~ くりmini
例年通り数列分野の選択問題です。
今年は等比数列がテーマで最終的に等差×等比型の和の計算をするというもので,
漸化式は出題されませんでした。途中で一瞬対数が登場しますが,波乱を呼ぶような厄介なものではなかったです。
比較的解きやすい部類ではなかったかと思います。

それではまず標準的な流れで解き進めていきます~

(1)はサービス問題ですね。初項が1で公比が2の等比数列について,初項から第3項までの和と積を
求めるものです。一般項など求める必要もなく,  が分かるので
ちゃちゃっと和と積を出してしまいましょう~

(2)では初項 x, 公比 r が未知の状態で逆に和と積が与えられています。
和も積も文字式で与えられているのが面倒ですが,数字で与えられている場合と解き方は同じです。
等比数列の練習問題としては典型的なものですね。
x と r が実数として定まるための a と b の条件を求めたいという流れです。
 の条件式から  が得られ,  の条件から x も r も0ではないので,

という具合に x を消去して r の2次方程式に帰着できます。
r が実数として定まる条件はおなじみ 判別式≧0 です~ dog_happy.gif
数列の問題ではあまり判別式は出てこないので,ちょっと不思議な感覚に陥るかもしれませんね。
この部分の設問は「式と証明」分野を意識しているのかもしれません。

(3)では a と b の値が具体的に与えられます。(2)で求めた条件を満たすので x と r を求めることが出来ます。
ただし,そんな条件確認は置いといてさっさと現物の x と r の値を出してしまいましょう。
 が得られるので,  
です。いわゆる 等差×等比 型の数列です。この数列の初項から第 n 項までの和  は
 を考えて求める定石がありますね kaeru_en1.gif


jjj1.jpg
jjj2.jpg
jjj3.jpg


 を考えたことにより等比数列の和が出現し,いつもの和の公式を用いていますが,
以下のように項数が n-1 の和にしてしまうと, n≧2 の場合と n=1 の場合に分けて論じていくのが正しい処理になります。
面倒なので上記のように項数が n になるように補正しておくとよいです。


jjj4.jpg





それでは,別ルートを模索してみます。
まずは(2)について考えてみましょう~
 を求める箇所がありますが,  であることを思い出すと  が分かったことになります。
 のうち真ん中が分かってしまったので,あとは残り2つです。
r は0ではないので,  と表せます。
これを用いて [エオカキ] を埋めることが出来ます。

jj5_20170205212702621.jpg



[エオカキ] の2次方程式を使わずに [クケ] 部分の条件式を求めてみましょう。
先程見たように  のうち真ん中が分かってしまったので,
この3数の和と積の条件式は残り2個の和と積の条件式に書き直せます。
具体的には  です。
ということは解と係数の関係から  を2解に持つ2次方程式を作ることができて,
 が実数として定まるための必要十分条件はこの2次方程式の判別式≧0から得られます。
 が実数として定まっているなら   の関係式から
x も r も実数として定まりますね。
「  が実数として定まる」 ⇔ 「 x, r が実数として定まる」
ということが言えるので,今の「判別式≧0」から [クケ] 部分の条件式が得られます m_0054.gif



jjj5.jpg
jjj6.jpg



2次方程式の解と係数の関係に着眼するアプローチがあるなら,3次方程式の解と係数の関係に
着眼するアプローチだって考えられるはずです。
計算量が結構あるし,はじめの解法のように本来は簡単に答えが出せる問題なので,
試験本番でこのようなアプローチはオススメできませんが,参考のために考察してみます。
 が実数として定まる条件から [クケ] 部分の条件式を求めてみましょう m_0194.gif

jjj7.jpg


F(X)=0 が重複度も込めて3個の実数解を持つとしたら,起こり得る可能性は3つです。

(a) 3重解を持つ
(b) 2重解が1個とその他の解が1個ある
(c) 相異なる3個の実数解を持つ


(a)が成り立つのは  の形で表せるときです。
また,(b),(c)が成り立つのは F(X) が極大値と極小値を持ち, y=F(X) のグラフが X 軸と2個以上の
共有点をもつ場合です。

jjj16.jpg


これは「極大値と極小値の積が0以下である」という条件で同時に取り扱うことが出来ます mush.gif



jjj8.jpg

jjj9.jpg




jjj15.jpg




うーん,面倒でしたね。解法の選択は大切です。
素直に与えられた誘導に乗れれば大丈夫ですが~~



続いては(3)の和の計算の仕方をいくつか検討してみましょう~ rabi_right.gif


 と2つの和に分けてみます。果たして何かメリットが有るでしょうか。
後者はただの等比数列の和なので簡単です。
前者は結局 等差×等比 型の和なのですが,途中に現れる等比数列の和が
はじめの解法と違って自然な形で項数 n の状態で出てきます。ちっさい話ではありますがそこが利点ですかね。


jjj10.jpg


次は 1≦k≦n である各 k に対して和   を考えてみます。
  と表せます。この方針でなら等比数列の和の公式だけで処理ができます~


jjj12.jpg

jjj13_201702052306561ec.jpg



等比数列の和の公式すら用いない手法も考えてみます tyoutcin.gif
 という漸化式を初項  の下で
解くという方針で攻めてみたいと思います。階差数列の公式で対処できる形ではありますが,
それだと普通に和を取る計算と何も変わらなくなってしまいます。
そこで   と変形してみます。
 型の漸化式に帰着できました~
あとはこれを解けばOKです~


jjj14.jpg



最後は微分を利用したアプローチを見てみます。ただし数3の内容を含みます。
 という関数を考えます。
このとき,   が成り立つことに着目して答えが出せます~ teng.gif




jjj11.jpg




 
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