2017年東大理系数学第１問

どもども。

今回は今年の東大入試理系数学の第１問を見てみます～

今年の東大入試は巷で言われているように例年に比べるとだいぶぬるい印象です。
試験としては十分に機能するのだと思いますが，もしこの傾向がずっと続いていくのならちょっと物足りないですね～

第１問は三角関数と２次関数の融合のような問題です。
難易度的にはやや易しめ。
問題はこちら～




２つの三角関数　ｆ（θ），　ｇ（θ）　が主役ですが，　ｘ＝cosθ　の置き換えにより，
三角関数から多項式に移行します～
ｇ（θ）　の最小値についての設問が（２）に出てきますが，実質的には２次関数の問題になってしまう，
というのがあらすじですかね

それでは（１）をさくっと処理してしまいます。
３倍角の公式と２倍角の公式を用いて　ｆ（θ）　を　cosθ　の多項式に直してしまえばOKです～
方程式　ｆ（θ）－ｆ（０）＝０　は　θ＝０　を解に持つので　cosθ－cos 0　すなわち　ｘ－１　は
ｘ　の多項式で表した　ｆ（θ）－ｆ（０）　の因数の１つとして現れます
このことから，　ｇ（θ）　も　ｘ　の多項式で表すことができるわけです。




０＜θ＜π　のとき，　－１＜ｘ＜１　です。
この範囲において　ｇ（θ）　の最小値を考えますが，　θ　を一旦置いといて、
ｘ　の２次関数として捉えていきます。
よくある軸の位置で場合分けする典型問題です～



とおきます～
ｙ＝G(x)　のグラフの軸の方程式は　　です。
軸が区間　－１＜ｘ＜１　に含まれているかどうかで事情が変わってきますね。
　または　　が成り立つときには区間　－１＜ｘ＜１　において
G(ｘ)　は最小値を持ちません。　　の場合に限り，区間　－１＜ｘ＜１　における最小値が
存在し，それが０になることから　　という関係式が得られます～








軸の位置で場合分けして　　の条件を見い出しましたが，
落ち着いて吟味すると場合分けを回避することもできます。
区間　－１＜ｘ＜１　において最小値があるということは，この区間において２次関数　G(x)　が
単調増加であったり単調減少であったりしてはいけません。閉区間ではなくて開区間だからですね。
－１でも１でもないその間の何処かで最小値を取らなければいけません。
G(x)　は区間のはじめでは単調減少していて，頂点のところで最小値を取り，以後は単調増加する。
このような状況になっていなければならないわけです。
ということで軸が区間内にあることから　　が得られます。





ところで，　　とおくと，　
というのは　ｙ＝F（ｔ）　のグラフ上の２点　（１，F(１)），（ｘ，F(ｘ)）を通る直線の傾きを表しています。
ｔ　が１から　ｘ　まで動いたときの　G(ｘ)　の平均変化率と言っても良いでしょう。
－１＜ｘ＜１　で考えるということは　（ｘ，F(ｘ)）　は　（１，F(１)）　より左側にあることになりますね。
－１＜ｘ＜１　で　ｇ（θ）　の最小値が０であるということは，この傾きが最小値０だということです。
「傾きが常に０以上であり，０になることもある」
という点に着目して条件式を立ててみましょう～

F(ｔ)　が単調増加な３次関数ならば決して平均変化率が０になることはないので，　F（ｔ）　は極値を
持つタイプの３次関数です。
ｘ＝α　で極大値　M，　ｘ＝β　で極小値　ｍ　を取ると仮定すると，　ｍ≦F(１)≦M　でなければいけません。
そうでないなら　ｙ＝F(ｔ)　のグラフは　ｔ　軸に平行な直線　ｙ＝F(１)　と共有点を１個しか持たないからです。
また，平均変化率が負にならないためには　－１＜ｘ＜１　で常に　F(ｘ)≦F(１)　が成り立たなければいけません。
これが実現するのは，　　の形で書けるときに限られることを
検証していきましょう～