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2012年東工大入試数学 第3問その1

2012.10.29 12:03|大学入試問題
どもども。


今回はこの春の東工大入試数学の第3問です~

問題はこちら~ぺんぎんmini

mon3.jpg

安易にいえば,下の図の緑の部分の面積の最小値を求める問題です

計算に工夫を施して効率的に計算を進めないと大変です。
自分はこういう問題は大抵計算ミスしますね~~
いかに落ち着いて正確に計算できるか,が試されます。
やることは分かっているし,間違ってないはずなのに,なぜか計算がひたすらメンドクサイので,
どこかで自分の計算は間違ってるんじゃないかという不安が常に付きまとう系の問題ですakaname.gif
果たして自分の計算をどれくらい信じられるでしょーか。

ee3.jpg


まず(1)は下準備。
直線ℓが曲線Cと原点以外の交点を持つためのaの条件を求めます。

問題を解く前提として曲線Cとはどんなものか考察してみましょう。
曲線Cの方程式は y=x(x-1)(x-2) とかけるので,
x軸との交点は(0,0),(1,0),(2,0)の3点であることがすぐ分かります。
3次関数のグラフなのでこの情報があるだけで大まかな形状は把握できますが,
せっかくなので極値も調べておきましょう。
ただし,この問題では極値はこれといって重要ではないです。

e1_20121028203616.jpg


さて,(1)の解法ですが,
いくつか考え方があるので,何個か見てみましょうgp01.gif


 2次方程式が解を持つ条件に帰着させて,判別式を考察する

曲線Cと直線ℓの交点のx座標は,3次方程式
x^3-3x^2+2x=ax  の解で与えられます。
これは,  x{x^2-3x+(2-a)}=0  と書き換えられます。
そのため,x=0のほかの解は2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 から得られますhamster_2.gif

よって,まず第一にこの2次方程式が実数解を持たなければなりません。
これは, (判別式)≧0 によって条件が求められます。
このとき計算後に得られるのが, a≧-1/4 という条件です。
この条件から,「上の2次方程式がx=0しか解を持たない」場合のaを取り除けば完了です。
今回の問題では,そのようなaはありません。a=2のときにx=0を解には持ちますが,
もう一方の解がx=3になるので,しっかりx=0以外の解を持ちます~

e2_20121028203617.jpg

e3_20121028203617.jpg



 2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 の解を直接考察してみる

上の解法に出てきた2次方程式 x^2-3x+(2-a)=0 について
解の公式で解を求めます。ルートを含んだ式がでてきますが,
その中身が≧0であることが,さっきの判別式の条件と同値になりますhiyo_face.gif

e17.jpg


ここに出てくる「±」のついた2つの解のうち,
「+」のほうは,よく見ると常に正ですね!!
したがって0になることはないので,x=0以外の解を必ず持ちます~~

e18_20121028203828.jpg

違う考察の仕方としては,例えばこんなやり方が浮かびます。
この2次方程式は重解を持つ場合を除いて2個の異なる解を持ちます。
ということは仮に片方がx=0だったとしても,
他方は必ずx=0以外の値になるということなので,
あとは重解を持つ場合について,その重解がx=0ではないことを確かめればOKというわけですkaeru_ang2.gif

e19_20121028203837.jpg



 3次関数 y=x^3-3x^2+(2-a)x を考察する

3次関数 A(x)=x^3-3x^2+(2-a)x のグラフとx軸の交点が
(0,0)以外に存在するためのaの条件を求める,という発想でも解けますね!

さっきまでとは違った着眼をしてみたいので,
y=A(x)のグラフの極小値に注目してみます

(極小値)≦0 となることがx=0以外の交点を持つ条件になっています。
 

e4_20121028203618.jpg

この極小値を求めるためには,A(x)の式に x={3+√(3a+3)}/3 を
代入して計算しなければなりません。しかし,それはちょっと大変ですね。
時間もかかる上に,きっと計算ミスしますね!isona.gif

そこでちょっとだけ楽をしましょう。
 x={3+√(3a+3)}/3 は2次方程式 A’(x)=0 の解ですので,
多項式 A(x) を多項式 A’(x) で割ってやります。
筆算をすれば割り算できますね!
そこで出てきた余りの1次式に x={3+√(3a+3)}/3 を代入すると,
それがA(x)の式に x={3+√(3a+3)}/3 を代入したものと同じになりますinsect_kuwa_m.gif

e5_20121028203618.jpg


ちょっと難しそうな不等式が出てきました。
ルートを含んでるので両辺を2乗して解きたいのですが,
無理不等式は同値性に注意して変形しなければならんので,
むやみに2乗してはいけません。
(たとえば,-2<5 は両辺を2乗して 4<25 としても正しいですが,
-2<1 は両辺を2乗すると 4>1 と不等号の向きが逆転します)


まずルートの中身が≧0でなければならないので a≧-1 です。
a≧0 のときは,左辺は0以下,右辺は正になるので常に不等式は成り立ちます。
-1≦a<0のときは両辺ともに正なので2乗して比較しても大小関係は一緒です。

e6_20121028203619.jpg
e7_20121028203744.jpg




 他の交点を(p,p^3-3p^2+2p)とおいてみる

(0,0)以外の交点を持つ条件を求めるので,
その交点を仮に(p,p^3-3p^2+2p)とおいてみます。
(0,0)以外といってるのでp≠0です。
直線ℓは2点(0,0),(p,p^3-3p^2+2p)を通る直線なので
y=(p^2-3p+2)x と表すことが出来ます。
したがって, a=p^2-3p+2 が成り立ちます。
aがpの関数として表されました。

p≠0のときに関数 a(p)=p^2-3p+2 のとりうる値はどうなるでしょう。
それが求めるaの範囲と合致しますkitune.gif


e8_20121028203744.jpg

p=0のときa=2なので,これが除外されるかと思いきや
別のp(ちなみにp=3)がしっかりa=2をカバーしてくれています。

そこにある図を見て欲しいのですが,p軸に平行な直線a=kを考えると
これと,a=p^2-3p+2 (p≠0) のグラフとの交点の数が
y=kxと曲線Cの,原点以外の交点の数です。
k=-1/4,2のとき, a=p^2-3p+2 のグラフと a=k は1点のみで交わっていますね。
実はこれは直線ℓが曲線Cの接線になっている場合になっています。
次の解法に出てくる図と見比べながら考えてみると良いかもしれませんkame.gif




 直線ℓが曲線Cの接線になってる場合を分岐ポイントとして考える

最初に挙げた解法のように,図とか考えずに方程式の計算をガリガリするだけでも
問題は解けますが,図を描いてみてℓがどんな状態のとき複数の交点を持つかを
調べてみる作戦も有効ですよね

直線ℓが曲線Cの接線になっている場合が2通りあります。
そのときのaをまず求めてみましょう。

e9_20121028203745.jpg

e10_20121028203745.jpg

y=-1/4xとy=2xが接線になっているようです。

a=-1/4,2の前後で図の状況が変化するようなので,
このときCとℓの交点がどうなるか見てみましょうkawauso.gif

e11_20121028203746.jpg
ee1.jpg


e12_20121028203746.jpg
ee2_20121028204458.jpg

(※ 緑の部分は(2)で面積を求める部分なので(1)では関係ありません)

e13_20121028203826.jpg
ee3.jpg



e14_20121028203826.jpg
ee4.jpg



e15_20121028203827.jpg
ee5.jpg



e16_20121028203827.jpg

3次関数は直線よりも増加のスピードは速いことに注意しましょう。
下側の2つの場合(a=2,a>2)は縦幅が少々長い図を描かないと
右側の交点の存在に気付きにくいですladybug.gif
a>2の場合はx<0の部分にも交点があるので注意です。
右側の交点を含めた図を計算用紙の狭いスペースにおさまるように描くために
縦幅を圧縮しすぎたりすると,今度はx<0の部分の交点が図が小さくて潰れてしまうかもしれないので気をつけましょう











それでは次回は(2)をやっていきます~kuma_fly.gif






   
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テーマ:算数・数学の学習
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