プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2012年東北大入試(後期)理系数学第2問

2012.08.10 21:10|大学入試問題
どもども。

移転して最初の問題は今年の東北大入試(後期)の理系数学第2問です~onpu07.gif


問題はこちらstar-ani01.gif

m2

何やら不等式が3つ与えられております~~
まずは分かりやすいように図で表現してみましょうねsenpuki04.gif

d1.jpg

上図の斜線部の面積を考えるわけですね,なんだかちっさい領域ですねc-08.gif
決して複雑な形状ではないので,簡単に面積が求められそうですが~
しかしこの図の中のpという値,コレが曲者です~
p=1-√(1-a) というルートを含んだ値なので素直に積分するとなんだか計算が面倒くさくなりそうな予感です。
何かしらの工夫とかを取り入れることで計算が楽になりそうですねbye03.gif


futaba03.gif pを残したまま素直に積分する

まずは一番素朴な積分計算をやってみます~
ただし,極力pはそのまま残しておいて,
導関数の計算でpの満たす関係式 p^2-2p+a=0 を用いて邪魔なpを消していきますaicon_bbs19.gif


d2.jpg

なかなかスッキリした式になりましたねaicon_81.gif
あとはpを元に戻して導関数=0となるaを求めます

d3.jpg

d4.jpg

ということで答えが求められました~been.gif
計算量も思ったより少なめで済みました~


futaba03.gif p^2を2p-aで置き換えるパターン

今度は p^2=2p-a を使って計算過程に現れるp^2を次々1次式に置き換えてみますPudding.gif

d5.jpg

ちょっとだけ面倒が増したかな?
とりあえず,導関数を求めた後は最初の解法と同じですMushroom03.gif



futaba03.gif aを三角関数で置き換えてみるパターン

仮定より0<a<1となっていますので,戯れにa=cos^2θとおいてみたいと思います15927443.gif


d6.jpg

果たして計算は楽になったり上手くいったりするでしょうかsreep_dog.gif


d7.jpg

ルートを含んだ関数の取り扱いは避けることが出来ましたが,代わりにsinθの6次式が出てきました~tentou01.gif
X=sinθと置き換えて多項式の増減を調べてみます~

d8.jpg

何とか無事に答えまで到達できました~
結構うまくいくもんですねhiyoko05.gif



futaba03.gif y軸方向に積分するパターン

次は積分の取り方を変えてみましょう~aicon341.gif
まずはx軸方向ではなくて,y軸方向に積分してみます~
また,実際に積分を実行せずにいきなり微分する計算工夫も取り入れてみます

d9.jpg

思いのほか簡単でしたね~winkapa.gif



futaba03.gif 考えてる領域を含まないある領域の面積の最小値を考えるパターン

今度は次の図の色のついた領域の面積を考えてみますwaraioni.gif

d10.jpg

色のついた部分と,本来考えるべき部分を足し合わせると放物線とx軸の囲む領域の左半分になって
その面積は一定値ですから,S(a)が最大になるときに上の図の色のついた部分は最小になりますrobo.gif

d12.jpg


futaba03.gif 放物線と直線y=aとで囲まれる領域の面積を利用して考えるパターン

次は下の図の色のついた部分の面積から真ん中の部分を引いた部分の最大値を求めることを考えますrisu.gif

d11.jpg

放物線と直線y=aとで囲まれる領域の面積は“1/6公式”を使うと簡単に求められますねrice_hungry.gif


d13.jpg

d14.jpg







最後は,参考までに1次近似を用いて答えのaの値を導いてみることを試してみます~usagi.gif
aの値が微小量△aだけ動いたときの面積の増分を考えてそれが0になるときが求めるaであろうという発想です~
どこぞの大数あたりで,はみだしけずり法とか呼ばれてるような考え方ですかね
下の図でいうと水色部分が減ってオレンジ部分が増えますのでこの減る量と増える量が平衡状態になるときを考えます~

d15.jpg

d16.jpg

ということで答えと同じaの値が出てきましたねw04.gif






とりあえず,この問題は様々な工夫を凝らすことで,計算量は減らせる,そういうタイプの問題でしたsosu.gif
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:積分 微分 無理関数 定積分で表された関数 領域

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。