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2012年東工大入試数学 第4問その1

2012.11.08 21:20|大学入試問題
どもども。

今回は,今年の東工大入試数学の第4問をやっていきます~

問題はこちら~ぺんぎんmini
a0.jpg

数列の問題です~
見た目はなんだか難しそうな漸化式ですねtawa02.gif

しかしながら,実はそんな見かけほどには難しくはない問題のようです。
数列の和が含まれている(k+1)-項間漸化式なので,
まともに相手をすると確かに手強いですが,
この手の厄介そうな漸化式が出てきたときは,
とりあえず最初の何項かを計算で求めてみるといいです。
一般項が容易に類推できることが多いです。
あとは数学的帰納法でその予想が正しいことを実証すればよいわけですなtakenoko03.gif

(1)の設問が「a_2,a_3を求めよ」なので
一般項の予想をしてみてね♪というメッセージなんでしょう。

kとnという2つの文字が混在しているため
不要な混乱をきたす可能性がありますが
そこは落ち着いて取り組みましょう~~

(3)は不等式評価と区分求積で解けます~
「lim b_n を求めよ」ではなく,はじめから「log2になることを示せ」になっているので,
あらかじめ答えの数値が分かっている分,なかなか親切ですdog_angry.gif





それでは,まずは(1)です~~
とりあえず普通に代入してa_2,a_3を求めてみましょう。
kとnの勘違いにはくれぐれも注意です!

a1_20121108180919.jpg

もうこの時点で,うっすらと一般項が予想できそうな
予感がしますが,その予感を確信に変えるべく,3項目を求めますbody_run.gif

a2_20121108180919.jpg

ここまでくると, a_k=1/(n+k-1)-1/(n+k)=1/(n+k-1)(n+k)
であろうという類推に自信が持てるでしょう。


それでは,数学的帰納法で証明してみましょう~~
それが出来れば(2)も攻略ですね~panda_1.gif

通常の帰納法では,
(i) k=1のときに正しい
(ii) k=ℓ (ℓ≧1)のときに正しいと仮定すると,k=ℓ+1 のときも正しい


という論調で証明をしますが,今回の問題で与えられた漸化式は
(k+1)-項間のものなので,少し工夫が必要で,

(i) k=1のときに正しい
(ii) k≦ℓ (ℓ≧1)のときに正しいと仮定すると,k=ℓ+1 のときも正しい


という論調で帰納法を用います~
もしかしたら,あまり馴染みはないかもしれませんが,
このやり方でも確かに全ての自然数に対して
命題が成り立つことがいえますよね

a3_20121108180919.jpg
a4_20121108180920.jpg


これが(2)までの,おそらく一番オーソドックスな解法かと思いますが,
ここでいつものように別解を考えてみましょー


 a_kの初項から第k項までの和S_kを求めてみる

数列{a_k}の初項から第k項までの和をS_kとおいてみますね。
今回の問題の漸化式が厄介なのは,a_kとa_{k+1}だけが出てくる
2項間漸化式ではなくて,中にS_kが含まれているからです。

ところで,a_kは a_k=S_k-S_{k-1}
として,S_kとS_{k-1}を用いて表せましたよね。

そこで,与えられた漸化式を数列{S_k}に関する2項間漸化式に
変形してみたいと思いますny_kadomatsu.gif


a5_20121108180920.jpg

これで,2項間漸化式が得られました。
最初のに比べると,複雑さはだいぶ軽減されたような気はします。

しかしながら,一般項を求めるのはちょっと難しそうですね~gardening01.gif

そこで,最初の解法と同様に,まずは類推してみることにします。

a6_20121108181041.jpg


今度はいつもながらの帰納法パターンが使えますね!

S_kの類推が正しかったことが確かめられたら
あとはa_kを a_k=S_k-S_{k-1} によって求めればOKです~
ただしk≧2の場合とk=1の場合とに分けなければならないことに注意ですよ~


a7_20121108181041.jpg





 数列{a_k}に関する2項間漸化式を求める

どうせ2項間漸化式を求めるなら,S_kを経由するんじゃなくて
はじめから数列{a_k}に関するものを求めてしまったほうが手っ取り早いですね~
そこで,今度は数列{a_k}に関する2項間漸化式を求めてみます。

厄介な和の部分を何とか消去することを念頭において
a_{k+1}からa_kの何倍かを引いてみましょう~densya.gif

a8_20121108181041.jpg

これで2項間漸化式は求められました。
あとは一般項を類推して帰納法を使ってみましょう~

a9_20121108181042.jpg

a10.jpg

a16.jpg









 類推ではなく直接一般項を求める

ここまでは一般項を類推して帰納法で実証するという系統の
解法でしたが,最後は先ほど求めた2項間漸化式から
直接的に一般項を求めてみましょう~~

とはいっても,ちょっと特殊な形なので工夫が必要です。

ka_{k+1}=(k+n-1)a_k-(n+1)/{(k+n)(k+n+1)} ……

という漸化式なわけですが,もしもこれが

ka_{k+1}=(k-1)a_k-(n+1)/{(k+n)(k+n+1)} ……

だったなら,y_k=(k-1)a_k とおけば,

y_{k+1}y_k-(n+1)/{(k+n)(k+n+1)} 

となって階差数列の話に帰着できますkatudon.gif
しかし今は余計なnが付いてて悩ましいわけですね。
そこで,の両辺に何か絶妙な数列x_kをかけてみて

k(x_k)a_{k+1}=(k+n-1)(x_k)a_k-(n+1)(x_k)/{(k+n)(k+n+1)}

とします。
もし,y_k=(k+n-1)(x_k)a_k とおいたとき,

y_{k+1}y_k-(n+1)/{(k+n)(k+n+1)}

となってくれたら,階差数列の話に帰着できるので嬉しいですね

そんなわけで,そーいう都合のいいx_kを1つ見つけてみまっしょい

a12.jpg

a13.jpg


だいぶスッキリしてきましたねッ
あとは階差数列を利用してy_kの一般項を求めてしまえば
そこからa_kも求められます~

a14.jpg

(n+1)!(m-1)!/(n+m+1)! を,A(m+1)-A(m)
の形に変形するところはちょっと悩むかもしれないですね
上の解法のように,(m-1)!で約分すれば割とすんなりいきますが
(n+1)!のほうで約分すると少し悩んじゃうかも。

a15.jpg



というわけで,
類推→帰納法というパターンを用いなくても無事に一般項が求められましたfutaba05.gif







次回は(3)をやっていきます~~




   
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