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2012年東工大入試数学 第4問その2

2012.11.11 21:55|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年の東工大入試の数学第4問をやっていきます~

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
a0.jpg

今回は(3)からやっていきます~

数列の極限の問題です~
√a_kの和をとるという厄介なことを要求しています。
ルートが非常に邪魔です。
厄介なので不等式で上と下から評価してしまいましょう~

そうなると大体,「これはハサミウチのパターンでいけるなニヤニヤ
と方針が立ちますね。
nとkが混在しているので,区分求積法を使うのだということも
割とピンと来るのではないでしょうか~~h-hokousya.gif

b1_20121108213120.jpg


b3_20121108213121.jpg

区分求積法の考え方から 上下の評価の右辺の n→∞ のときの極限が
1/(1+x) の定積分に帰着されることが分かりますdensya.gif

b2_20121108213120.jpg




さて今回は,区分求積法を用いずに解いてみる別解に挑戦です!

lim b_n =log2 となることを示す問題ですが,この「log2」という数字を見た時点で
色々な問題を解き慣れている人なら, 1/(1+x) の定積分がピンとくるかもしれません。
それと関連して,次の有名な等式があります。

ff373db25b2ec9d3f52f4bafac9a321a.png

今回の問題ではこの無限級数の話に帰着させることが可能です~aicon_bbs19.gif
それをやってみますよー

まずは Σ1/(k+n) を次のように式変形してみますStrawberry02.gif


b4_20121108213121.jpg

もう上の無限級数の部分和が出てきましたね!!

あとはこれが収束することを確かめます。
以下に挙げる関数列 {f_n (x)} について,その区間[0,1]上の定積分が
 n→∞ のとき,0に収束することを利用して,
級数の収束を述べることが出来ます~


b5_20121108213122.jpg

b6_20121108213122.jpg



そんなわけで区分求積法を使わなくても極限値を求めることが出来ました~~



次回は第5問をやっていきますね~~Mushroom04.gif






    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 数列 数学的帰納法 積分 区分求積法

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