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2012年東大入試理系数学第1問 追記

2012.11.15 14:55|大学入試問題
どもども。


今回は番外編ですよ~~。


以前に取り扱った2012年の東大入試理系数学の第1問。

これについてちょっとだけ追記します~


問題はこちら~算数mini
t0.jpg

以前の記事:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/c89c3596e9118f213f43e597467328aa

下図のABの長さの最大値と,そのときのcosθを求める問題です


t11.jpg


θを用いて色々な値を計算すると,

A(√2/3,√2/3tanθ), B(sin2θ,2(sinθ)^2)
OA=√2/(3cosθ),  OB=2sinθ,  AB=2sinθ-√2/(3cosθ)


のようになっています。
ABは,見た目はシンプルで分かり易い形をしていますが,
意外にも三角関数の基本変形だけでは最大値を求めるのは難しいようなのです。
cosθが分母にあることが厄介で,結局,微分して増減を調べるという手段に落ち着きますbakeneko.gif

変数をθではなく,直線 ℓ:y=mx の傾きmにして考える解法もあります。
こちらの場合はABがmの無理関数になってしまうので,
こちらも微分して考察するのはちょっと面倒くさいですね。 

三角関数や無理関数の微分法は,数学Ⅲの範囲であるわけですが,
では果たしてこの問題は,わざわざ数Ⅲレベルの高度な技法を用いなければ
解けない問題なのだろうか??
そんなものを持ち出してくるのは何だか大袈裟なのではないだろうか??car2_tank.gif

という疑問が浮かびます。

実はすごーいシンプルかつ巧みな解法があって
鮮やかにやっつけてしまう方法があるんじゃないかという気もしないでもないんですよねー。

自分もとりあえず微分使って解いたものの,何かしっくりこない感というのはありました。
何か良い手は無いものかと考えてみたものの,なかなか思い付かなかったので
以前の記事では微分を用いた解法だけ取りあげて終えていたのですが,

今回,微分を用いない解法はないだろうかという御意見を頂いたので,
しばらくぶりにまたこの問題を考察してみることにしたのです


……そんでまぁ,先に結論を言っちゃうと,

目からウロコが落ちるような見事な解法はまだ見つけられてないっす!
誰か!エレガントな解法を求む!dog_shy.gif


ということなのであります




とりあえずまぁ,参考までにいくつか考察してみたことを述べてみようかな,と思います~


この問題の解法パターンとしては,上で述べたように角度θや傾きmを
変数として関数を考えるのがベタなやり方かと思います。

他にはAの座標を (√2/3,a) とおいて,aを変数にしてしまうとか,
OA:AB=t:(1-t) とおいて,tを変数にしてしまうとか
φ=∠OCBを変数にするなど,変数の取り方はいろいろ考えられます。

また,ABの代わりに, AB^2 や 1/AB を考察する発想もあります。

しかし,どれをとっても微分して増減を調べるパターンに追い込まれるし,
関数の形自体が複雑になったりする場合もあります。

あるいは,正数Lに対し 2sinθ-√2/(3cosθ)=L を満たす
(変域内の)θが存在する条件を調べるという発想もあります。
関数 y=3sin(2θ)-3Lcosθ-√2 とx軸の交点が存在するLの条件とか,
円x^2+y^2=1 と双曲線 2y-√2/(3x)=L が共有点を
持つためのLの条件を求める,なども似たような類です。
そのような発想でも結局微分が出てくるかと思います。
結構な労力を要する場合もあります







次に着目したいのは領域Dの境界に現れる x=√2/3 という値です。
なぜ, x=√2/3 でなければならなかったのでしょう。
この値を選んだ背景には何かあるのでしょうか。
ほかの x=λ の場合との,特筆すべき違いはあるのでしょうか。

実は, x=√2/3 の場合,ABが最大になるのは
OA=AB となるときなんですkaeru_yodare1.gif

実際,ABが最大になる, cosθ=1/√3,sinθ=√(2/3),m=√2 のときは
OA=AB=√6/3 になっていることが計算で確かめることができます。


t1.jpg


ほかの x=λ の場合でも,ABが最大となるのは
AがOBの中点になる場合なのかといえば,そんなことはありません。
x=√2/3 の場合が特殊なのです。
単なる偶然かもしれないですし,何か意図があってのことかもしれません。


普通に微分して増減を調べて問題を解く限りでは,この事実は特に出てきませんが
もしかしたら,ABが最大になるのはOA=ABのときだ!
ということを何かしらの方法で見い出す事によって答えを求める,という解法があるのかもしれませんkitune.gif
∠CABを変数にしてみてはどうか,とか考えてみましたがちょっと大変そうでした。

ちなみに,λ=√2/3のとき,OA=ABとなるθは2つあります。
そのうち大きいほうのθがAB最大のときの値です。
なお, 0<λ<1/2 のとき,OA=ABとなるθは2個,
λ=1/2 のときは1個, 1/2<λ<1 のときは0個です。


ところで,x=√2/3 の場合に限らず,一般の x=λ の場合に共通する条件がありますladybug.gif
まずは微分によってそれを求めてみます。
x=λ の場合,ABの値は x=√2/3 の場合と同様に求められます。

t2.jpg
t5.jpg

t3.jpg

t4.jpg

導関数=0のときのθがABを最大にします。
そして導関数=0から得られる条件式が, 2(sinθ)^2+λtanθ=2
ですkuma_fly.gif

λtanθ はAのy座標, 2(sinθ)^2 はBのy座標です。
下の図で言うところのAH+BIが円の直径2に等しくなっている場合
どうやらABの長さは最大になります

0<λ<1のとき, AH+BI=2 となるθはちゃんと存在します。

t6.jpg



ここで,次のような方針による解法が作れそうですkorobo.gif

・θ_1<θ≦α すなわち AH+BI≦2 のとき,f(θ)は単調増加である!
・α≦θ<θ_2 すなわち AH+BI≧2 のとき,f(θ)は単調減少である!
ゆえに,f(θ)はθ=αのときに最大になる!



というわけで,まずは θ_1<θ≦α の場合を考えてみます。
f(θ)とf(θ-s)の差を計算して, f(θ)>f(θ-s) 
となることを確かめます。

t7.jpg


α≦θ<θ_2 の場合も同様にやります


t8.jpg


ちなみに, x=√2/3 の場合には

t10.jpg

として答えが出てきますね~kojika.gif



こんな感じで一応,表面的には微分が出てこない解法も作ることが出来ました。
…とはいっても,このやり方の背後には思いっきり微分の影がありますね~

f(θ±s)-f(θ)を s で割って, s→0 とすれば導関数が出てきますからね。
導関数の符号が変わるところで関数の増減が変わることの説明と大体同じようなことをしています。






なんだかんだでシンプルに微分して解くやり方が
今のところ一番簡単じゃないか~!というオチになってしまいましたが,
何かしら上手いアイデアを知っている方がいれば教えてくれたら嬉しいですね~
類題も恐らく多いはずなので,その上手いアイデアはきっと色々と応用も効くはず m_0006.gif



そんなわけでとりあえず今回はここまで~~






 ~更に追記~

条件 2(sinθ)^2+λtanθ=2 の言い換えについて触れておきますrabi_smile.gif
直線ABとy=2の交点をEとし,2点A,Bから直線y=2とy軸上に
下図のように垂線を引き,点F,G,J,Kをとります。
また,L(0,2)とします。

t11_20121116032421.jpg

このとき 2(sinθ)^2+λtanθ=2 という条件は
「OA=BE」と同値です。
「OJ=KL」「LG=FE」に置き換えることも可能です。

OAはθに関して単調増加,BEは単調減少です。
OAとBEの均衡が取れたときにABが最大になる,というのは非常にありがちで分かり易いですねheart16.gif

 

上で挙げた解法を幾何的考察に翻訳する気持ちで次のような解法を作ってみました
それゆえ,やってることは多分上の計算による解法とほとんど変わらないはずですが
面倒な計算は使っていません。もちろん微分も使っていません。
AB=2sinθ-√2/(3cosθ) という表示式も使いません。

t12a_20121117013722.jpg


OA=BEとなるようにA,Bを取ります
A’,B’を直線ABより上側にとってみると,AB>A’B’となることをまず示します。
∠EOE’=s(下図の緑印)とおきます。θ(下図の赤印)は今まで通りです。


t12c.jpg


図のように点M,N,R,S,Tを取ります。

 AR > MA’ > MN = AM tanθ = OA sin s tanθ
 RB > A’S
 SB’ = BT = BL sin s = BE sin s tanθ

が成り立つので,

AB=AR+RB
  >OA sin s tanθ+A’S
  =OA sin s tanθ+A’B’-SB’
  =OA sin s tanθ+A’B’-BE sin s tanθ
  =A’B’+ (OA-BE) sin s tanθ
  =A’B’


従って, AB>A’B’ が成り立つ。


次に,反対バージョンです~
図が収まりきれてない場合はクリックして開いてくださいませh-fumikiri.gif


こちらの場合もOA=BEが成り立つようにA,Bをとり,
今度はA’,B’は下側にとってあります。


t13a_20121117013735.jpg

∠EOE’=s(下図の緑印),θは今まで通り。下図の赤印はθ-sを表しています。

t13c.jpg

図のように点M,N,R,S,Tを取ります。

 A’M = AM tan(θ-s) = OA sin s tan(θ-s)
 AN > MB’
 NB > TB > SB = RB sin s =BE tan(θ-s) sin s

が成り立つので,

AB=AN+NB
  >MB’+BE sin s tan(θ-s)
  =A’B’-A’M+BE sin s tan(θ-s)
  =A’B’-OA sin s tan(θ-s)+BE sin s tan(θ-s)
  =A’B’-(OA-BE) sin s tan(θ-s)
  =A’B’


従って AB>A’B’ が成り立つ。


ゆえに,OA=BEとなるときが最大であるcarrot02.gif




補助線の引き方はあまり上手ではなさそうですが,
だいぶ初等的な解法にまで還元できた気はします。

でも,こんな補助線の引き方,上の面倒計算バージョンのやつが無かったら
絶対思いつかんわッikari01.gif
(それがあっても結構苦労した





最大になるのは「OA=BE」のときである,という情報は分かっているので,
あとはどういう幾何的アプローチからこの条件を導き出すか。
それが別解探しのキモになりそうですね



 更に追記

微分を用いない解法として相加相乗平均の関係を使うものがありました。
ただし,かなり強引ですが~~~


















等号成立条件は,




より,  



を得ます~~

 とかいう数値は一体どこから出てきたのかという問題が浮上するかと思いますが,
これは,一旦



と変形して,



が成り立つように(これを k と θ に関する連立方程式とみなして)設定することで出てきます~


相加相乗平均って便利ですね~








    
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ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2012 微分 図形と方程式 三角関数

コメント

追加の記事までありがとうございます!
なかなか難航しますね・・・
なにかマニアックな円にまつわる幾何の公式から問題を作ったのかと疑ったのですが・・・
今のところ三角形ABCの外接円など考えて試しています。
幾何で長さの最大小を議論する際、補助円を引いて正弦定理に帰着することが多い気がするので。
なにか分かればまたコメントさせていただきます。

コメントありがとうございます~

マニアックな円にまつわる幾何の公式ですか,なるほど。
面白いけどあまり知られていない円の性質とかって多いような気もしますしね~
初等幾何は奥深くていいですよね♪

やはり図形の問題なので,幾何的なアプローチからも解いてみたいというのは
全うな考えだと思います。
三角形ABCの外接円を用いた解法はまだ自分は見い出せていませんが,
上で挙げた面倒な計算の解法を参考にして,それを大まかに幾何的な解法に
直してみたものを上に追記として挙げてみました。

とりあえず,ABが最大になるのは上の追記にある「OA=BE」のときです。
あとはどういう幾何的考察をすればこの条件を導き出せるか。
それを考えるといい気がします。

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