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2012年東工大入試数学 第5問その1

2012.11.19 17:19|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東工大入試第5問をやっていきます~

問題はこちら~ぺんぎんmini
mon5.jpg

1次変換の問題ですね~bakezouri.gif
原点と変換前後の点との距離の比が一定値になるような変換だそうです。

結局のところ f は相似変換を表すことになるのですが,
それは一旦おいておいて,簡単な解法から考えていきましょう~~



(1)は a^2+c^2=b^2+d^2 を示す問題です。
問題の条件を満たすような行列Aの成分の数字たちが満たすべき関係式を与えるわけですね。
さて,どうやってこれを求めましょうか。

OP’/OP=OQ’/OQ という条件式が成り立つといっているので,
きっと,そこから求める等式が得られるのでしょう。
PとQを何か簡単で具体的な値にとってみて考察してみます。

P(1,0),Q(0,1)と取るのが一番簡単ですねaobara.gif

u1.jpg


ちなみに,任意のP,Q(とそのときの P’,Q’)について OP’/OP=OQ’/OQ 
が成り立つというのは,任意のP(とそのときのP’)について OP’/OP=(一定値)
となることと同義ですcar2_tank.gif
(一定値でなかったら,異なる比の値を出すP,Qについて OP’/OP=OQ’/OQ が成り立ちません)



(1)の別解を考える前に,このまま(2)に突入してしまいます。

(2)は(1,√3)が(-4,0)に移るという追加条件を与えて
行列Aを決定しなさいという問題です。
つまりa,b,c,dの値を求めるわけですが,
未知数が4つなので方程式が4つ出てくればOKです

R(1,√3)がR’(-4,0)に移るということなので
OR’/ORを具体的に計算できますね。
(1)のOP’/OPとOQ’/OQも同じ値にならなければなりません。
OP’/OP=OR’/OR と OQ’/OQ=OR’/OR
で2本の方程式が得られます。

また,(1,√3)に行列Aを作用させて出てきた点が(-4,0)になることから
x座標=-4 と y座標=0 で残り2本の方程式が出てきます

u2.jpg

u3.jpg


2つの行列が求められました。
必要条件からAの候補を2つにまで絞り込んだわけですが,
この2つの両方が答えである保証がまだ持てません。
正解オーディションに受かる行列が1個なのか2個なのかまだ分かっていないんです。
実際,この2つ両方が答えなんですけど,まだ我々はその決め手は持っていないです。
まぁ,そもそも1個もあるかどうか本当は分からないまま議論しているんですけどね。
問題で,「fは~~~の条件を満たす」と仮定しているので,そのようなものがあるという体で
議論を進めていて構わないのです。

ここまでの議論ではP(1,0),Q(0,1),R(1,√3)の3点について
OP’/OP=OQ’/OQ=OR’/OR
が成り立つことから出てきた必要条件しか吟味していません。
いわば,「1次変換 f がP(1,0),Q(0,1),R(1,√3)の3点について
OP’/OP=OQ’/OQ=OR’/OR,およびR’(-4,0)となるときAを求めよ。」
という問題にしか答えていません。
もしかしたら全然別の点S(α,β)をとってきて,OS’/OS=OR’/ORという条件式を立てると
また新たな必要条件が出てきて,その結果,2個出てきたAの候補のうち一方が脱落してしまうかもしれません。

P,Qとしてどのような2点を選んできても,そこから得られる必要条件から出てくるのが今の2個の候補の行列である
ということが保証されているのならその2個が答えということでいいでしょう。
ただ,その吟味の仕方よりももっと手っ取り早く出来る方法があります。

十分性の確認をしてみればよいのです~
オーディションに勝ち残ったこの2つの行列が問題の条件である,
「任意のP,Qに対してOP’/OP=OQ’/OQ」というのを満たしていることをチェックすればよいわけです。



u4.jpg




続いて(1)(2)の別解を考えてみます。
P(x,y)を任意に与えてみます。このとき,x≠0x=0のどちらかが成り立ちます。
この2つの場合に分けて議論してみます。

x≠0の場合,y=tx (tは実数)と表すことが出来ます。
任意のP(x,tx)に対してOP’/OPが一定になるための条件を考えてみます

u5.jpg


ここから更に, ab+cd=0 と a^2+c^2=b^2+d^2 を導きます。


u6.jpg


一方で,x=0の場合はどうでしょうか。

u9.jpg

2つの場合を総合して, ab+cd=0 と a^2+c^2=b^2+d^2 というのが
OP’/OPが一定となるための必要十分条件になることが言えましたcutlet.gif

それを踏まえての(2)です。


u7.jpg

u8.jpg


ab+cd=0 と a^2+c^2=b^2+d^2  が成り立つことを仮定して
行列Aを求めたので,十分性の確認は省いて構いませんdokuro.gif







次回はもうちょっと別のアプローチをしてみます~







      
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ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 1次変換 行列 相似変換 必要十分条件

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