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2012年東工大入試数学 第5問その2

2012.11.20 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きですよ~

問題はこちら~くりmini
mon5.jpg


OP’/OP=一定 となるような1次変換を求める問題でした~~
前回とはまた別のアプローチをしてみようと思います

v1.jpg

f は1次変換なので,平面を平面に線形的に写します。
イメージとしては上図のような感じ。
直交座標がから斜交座標に変換されるような感じです

上図において→(e_1)=(1,0)が→(E_1)=(a,c)に写されて,
→(e_2)=(0,1)が→(E_2)=(b,d)に写されるものとします。
すなわち,行列Aの2つの列から得られる2つの列ベクトルが張る斜交座標に変換されます。


このとき,問題の条件から,|→(e_1)| : |→(E_1)| = |→(e_2)| : |→(E_2)|
が成り立たなければなりません。
|→(e_1)|=|→(e_2)|=1 ですので, |→(E_1)|=|→(E_2)|
でなければなりません(後者は=1である必要は無いです)。

問題は,→(E_1)と→(E_2)のなす角です。

そこで,2点P,Qを任意に与え,△OPQを考えたとき,
この三角形が f によって,元の三角形と相似な△OP’Q’に写されることを確かめてみますtakenoko01.gif


v3.jpg

v4.jpg


かくて,fによって直交座標は直交座標に写されなければなりません
(拡大率は変わるかもしれませんが)。
そして,その場合,1次変換 f は相似変換であることがわかりました。

v2.jpg

v5.jpg

一応,丁寧に十分性を確認しておくことにすると,

v7 1



前回,OP’/OP=一定 であることと, 
ab+cd=0 かつ a^2+c^2=b^2+d^2 であることが
同値である事を確かめました。
これは直交座標が相似な直交座標に変換されることを指していたんですね。
つまり元の座標軸を原点中心に回転したり拡大縮小したり鏡映させたりして出来たのが新しい座標軸です


これを踏まえて(2)をやってみます。
(1,√3)が(-4,0)に写されるということは,
(1,√3)と絶対値が等しくかつ垂直なベクトルを表す点(-√3,1)の行き先は
(0,±4)であるということですrose03.gif

v6.jpg

v7 2




f は平行移動を伴わない相似変換ということで,
原点中心の回転,拡大縮小とあとは鏡映の有限回の合成で表現できます。
そのような変換行列に一般形は次のように表されます

v8.jpg

このことは次回まったりと説明してることにしましょう。
とりあえず,この形に当てはめて(1)の等式と(2)のAを求めてみます。

v9.jpg
v10.jpg



v11.jpg



v12.jpg
v13.jpg



という風にAを求めることが出来ましたdog_right.gif






     
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タグ:東工大 大学入試 数学 2012 1次変換 行列 相似変換 座標変換

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