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相似変換を表す1次変換~(@゚ー゚@)♪

2012.11.21 00:18|数学
どもども。

前回の問題
2012年東工大入試数学 第5問その1
2012年東工大入試数学 第5問その2
に関連して,行列Aが定める1次変換が特に相似変換である場合についての補足を今回は述べてみます~~tree02(1).gif


まず相似変換とは,任意の図形が,それと相似な図形に変換されるようなものを指しますが,
逆に最初に相似変換というものの定義を与えて,相似変換による像によって図形の相似を定義することもあります。


それはさておき,相似変換とは
拡大縮小
回転
鏡映(直線に関する対称移動)
平行移動
の組合せで作られる変換です。

行列による1次変換が相似変換を表すのは,拡大縮小,回転,鏡映の合成で表されるようなタイプのものですwhite-ani01.gif
今回は,鏡映としては特にx軸に関する対称移動を主に考えていきます。
y軸に関する対称移動や,他の任意の直線y=axに関する対称移動をベースに考えても構いません。

k倍の拡大,角度θだけの回転,x軸に関する対称移動
それぞれを表す行列は以下のようになります

w1.jpg


ここで,試しに直線y=axに関する対称移動を回転と鏡映の積で表示してみますね~
a=tanθ とおくと,角度-θの回転 → 鏡映 → 角度θの回転 
によってこの変換が実現できますw02.gif
そしてまたこれは, 鏡映 → 角度2θの回転
で表す事も出来ます。



w2.jpg

w3_20121120174255.jpg


では相似変換を表す行列の一般形を求めてみましょう~~w04.gif

前回の問題より,行列A(≠0)について,

「行列Aが定める1次変換は相似変換である」
「行列Aが定める1次変換が原点以外の点PをP’に映すときOP’/OP=一定値」
「a^2+c^2=b^2+d^2 かつ ab+cd=0」


が同値であることがわかっています

a^2+c^2=b^2+d^2=k^2 (k>0)
とおいてみましょう。
(a/k)^2+(c/k)^2=(b/k)^2+(d/k)^2=1
になるので,2点(a/k,c/k),(b/k,d/k)は
円x^2+y^2=1上の点になります。したがって,
a/k=cosθ,c/k=sinθ,b/k=cosφ,d/k=sinφ
とおいても構いません。
次にab+cd=0の式からθとφの満たすべき関係式を導き出しますsosu.gif


w4.jpg

このことより,行列Aの形が2パターンに絞られます。

w5.jpg


上で挙げた直線y=axに関する対称移動は後者型のタイプで表示されましたね。

その他にも複雑に拡大縮小・回転・鏡映を組み合わせたような相似変換,
例えば

角度θ_1だけ回転 → k_1倍に拡大 → x軸に関して対称移動 
→ 直線y=mxに関して対称移動 → 角度θ_2だけ回転
→ y軸に関して対称移動 → 角度θ_3だけ回転 → k_2倍に拡大

のような,よくワカラナイような変換も上の2パターンの
どちらかの形に書き直すことが出来てしまうことになりますね。
これは一体どーいうことが起きてそうなるのか大まかに見てみます

まず,拡大を表す行列は単位行列の定数倍なので,任意の行列との積が可換です。
最後にまとめて必要な分だけ拡大すれば全く問題ありません。
それを除くとあとは回転と鏡映の操作の有限列を考えるといいわけですが,
回転操作は2回繰り返してもやはり回転操作です(回転角が2回分の和になる)。
x軸に関する対称移動は2回繰り返すと元の位置に戻ります。


w6.jpg


このことを踏まえると,回転と鏡映の操作の有限列は
回転と(x軸に関する)鏡映が交互に現れる操作に直すことが出来ます。

w7.jpg

さらに,上記の計算から回転と鏡映の繰り返し操作も
より短縮した表現に直すことが可能で,この短縮作業を繰り返した結果
最終的に得られるのが先程得られた2パターンの一般形だ
というわけなのです~rabi_shy.gif





   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:1次変換 行列 相似変換 回転行列 対称移動 鏡映 拡大縮小 三角関数 線形代数

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