プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2012年東工大入試数学 第6問その1

2012.11.24 04:10|大学入試問題
どもども。

いよいよ東工大の問題もラストになりました!
第6問です!

問題はこちら箱ドットおにおんmini
mon6.jpg

問題文は短いですが,答えを求めるのは難しそうです!
空間図形の問題で,三角錐から円柱との共通部分を取り除いて
余った部分の体積を出しなさい~~というややこしそうなお題です

       a1_20121124021601.jpg

ちょうど円柱から3つの角っちょがはみ出ていて,この部分の体積を出せっちゅーわけです。

問題を解くに当たって,下準備として三角錐PABCって一体どんな四面体なのかを
調べておく必要があります。
AとP,BとCの座標がそれぞれ似ているので,
何らかの対称性か何かが隠されているの違いありません。
それに気付かないと答えを求めるのに苦労を強いられるはずです。

まず,△ABCは平面z=0上の正三角形であることを見つけましょうakaname.gif
そしてその重心は原点です。1辺の長さは2√3です。

もしかして三角錐PABCは正四面体なんじゃないかしら!?
と淡い期待を抱きながら調査を続けてみるものと,
PA=PB=PC=2√2≠2√3 より,
残念ながら正四面体ではないことが分かります。
でもまぁ,正四面体に近い形ではありますね。
この三角錐を平面z=tで切断したときの断面もまた
(0,0,t)を重心にもつ正三角形A’B’C’です。
ただし,高さが増すにつれて,その正三角形の1辺の長さは短くなっていきます。


次に円柱x^2+y^2≦1との位置関係について見てみます。
平面z=0で切った断面を見ると,
ちょうど底面の△ABCに円が内接していますねdog_angry.gif

a2_20121124021601.jpg

もうちょっと高い位置である平面z=tで切断したときの断面は
正三角形が小さくなるために,円からはみ出る部分が小さくなります

a3_20121124021602.jpg

どんどん正三角形が小さくなっていって,ちょうど円に内接するときのtが
体積を求めたい立体の高さの上限に当たります。

a7_20121124021630.jpg


さて,複雑な立体の体積を求めるには断面積を積分するのが常套手段ですねeto_mi.gif
今回の問題でもその方法を使って解くのが良いと思いますが,
悩むのは,x軸,y軸,z軸,どの方向に積分する手法を取ろうかという点です。
実際のところ,どの方向に積分する方法を選んでも計算は結構大変です。
とりあえず,z=tによる三角錐の断面が常に正三角形になるので,
z方向の積分を考える方針でいく人が多いのかな?という気がします。

というわけで,最初はその方法でやってみます~~
ちなみに,一応3方向とも解法を挙げてみたいとは思います~

どの方向に積分するのが一番簡単か分かりますか?
この問題のように,結構試験場ではその選択も勝敗の分かれ目になりますね。
実はx軸方向の積分が一番楽だという意外な展開が待ってます。





さて,z=t (0≦t≦z_0  z_0は高さの上限,ちなみにz_0=1) 
による断面積S(t)を求めてみます。

a4_20121124021602.jpg

上図において,∠DQH=θとおいてみます。
θは高さが増すにつれて大きくなっていきます。
そのとりうる値は 0≦θ≦π/3 ですeto_ne.gif

a5_20121124021603.jpg
  a6_20121124021630.jpg


面積を求めたい部分はちょうど3つの合同なパーツに分けられますね。
3つのうち1つの面積を求めてしまえば,あとはそれを3倍すればOKです~

ところで△A’B’C’の1辺の長さって幾つなんでしょうね。
まずはそれを求めておきましょう。
これは△PABに着目して,平行線と線分の比の関係から求めることが出来ます。

また,∠EQF=2π/3であることから∠DQEの大きさをθの式で表せます。
扇形QDEの面積を求めることが出来ます。

a8_20121124021631.jpg
a9_20121124021631.jpg


ここで,θとtの間の関係を求めておきましょう。
A’C’=ℓ が分かっていて,∠QA’H=π/6なので,QHが計算できます。
DQは円の半径だから長さは1です。
このことから,cosθとℓが結びつきそうですeto_inu.gif

a10_20121124021632.jpg

次は,四角形A’DQEの面積を求めます。
求め方は様々あるでしょうけれど,今は 1/2×A’Q×DE によって
求めてみることにします。
A’QはQHの2倍,DEはA’Dと長さが等しいです。

a11_20121124021632.jpg

a12_20121124021711.jpg

これを3倍すれば断面積S(t)になりますね


S(t)の求め方をもう1つだけ挙げておきます。
円の面積から,正三角形A’B’C’からはみ出てる部分の面積を引きます。
それを△A’B’C’の面積から引けばちょうどS(t)になりますね~eto_i.gif

a23.jpg




さぁ 断面積が分かればあとは積分です
z軸方向の積分,つまりtに関する積分をしなければならないのですが,
S(t)は今,tではなくてθの関数で表されています。
このためtに関する積分からθに関する積分へ置換します。
先程 dt=2sinθdθ を求めていましたね!
置換積分することを見落として本来 dt であるものをはじめから dθ にしてしまうと,
2sinθdθ の 2sinθ が出てこないため,答えを誤ります。
非常にうっかりしやすいので気を付けましょう!!

a13_20121124021711.jpg

積分を3つに分離しました。
それぞれの値を求めます。

まずはI_1です。これが一番厄介でしょう。
√3(cosθ)^2 sinθ の不定積分が -√3/3(cosθ)^3
になることは気付けるでしょうか?気付けたら労力少なく計算できます。

慣れてないと気付けないかもしれませんが,見抜くコツがありますeto_tatsu.gif

a16_20121124021713.jpg

f(cosθ)型の関数にsinθがくっついてれば置換積分でうまくいくんです。
これは三角関数がらみの積分では非常に重宝するテクニックですので是非覚えておきましょう~girl_jewel_r.gif

a14_20121124021712.jpg

I_1 の計算方法は他にも色々考えられます。
いくつか紹介しますが,一旦おいておいて,先に問題の答えを求めてしまいましょう~

a15_20121124021712.jpg

フゥ,何とか答えを求められました!hiyo_eye.gif
それでは,I_1 の計算方法に戻ります~~


 3倍角の公式を利用する

a17.jpg

この等式からsinとcosの3乗を消去して計算します~

a18.jpg

もう一方も同様ですよ~

a19.jpg



 合成と積和の公式を利用する

三角関数の合成と,積和の公式を駆使して計算してみます~

a20.jpg
a21.jpg



 半角の公式と積和の公式を利用する

お次は半角の公式を使ってみます~

a22.jpg







長くなってきたので,そろそろおしまいにしましょう~
S(t)をθの関数で表してしまいましたが,tの関数のままでやろうとすると
逆三角関数が出てくるため,高校の範囲は超えてしまいます。
θの関数で攻めると dt と dθ の変換のところでうっかりミスしがちなのが怖いですね。


次回はy軸に沿って積分するパターンの解法に挑戦ですkaeru_ang2.gif







      
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 積分 空間図形 三角関数 無理関数 断面積

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。