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2012年東工大入試数学 第6問その2

2012.11.25 00:00|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきます~

問題はこちらもなたん算数mini
mon6.jpg



a1_20121124021601.jpg

三角錐の,円柱からはみ出てる部分の体積を出す問題ですよ~tawa02.gif

今回は平面y=tで切断したときの断面積をy軸方向に積分する方針で
この問題に挑んでみます~


3つの角っちょのパーツはどれも合同なので,
1個体積を求めちゃえばあとは3倍すればOKです。
そこで, 1/2≦y≦2 の範囲にある部分(下図で上の部分)に
あたるパーツの体積を計算してみます~

下図は平面z=0で切ったときの断面図です。
前回見たように,△ABCは原点を重心とする1辺2√3の正三角形で
円x^2+y^2=1は内接円になっています。


b1_20121124130544.jpg


平面y=tによる断面は 1/2≦t<1 のときと 1≦t≦2 の場合で
形状が異なります

b2_20121124130544.jpg

前者では円柱による切り抜きが入るので2つの合同な三角形に分離されています。

b3_20121124130545.jpg

後者では円柱による切り抜きが入らないので1つの三角形になっています。

ℓ,ℓ_1,ℓ_2,h_1,h_2 の長さを求めてみます~

h_1を求めるために平面x=0 による断面を活用できます。
△POAは直角二等辺三角形になっています。
ℓ,ℓ_1,ℓ_2 は平面z=0 による断面を活用できます。

これらの数値から断面積S(t)を求めることは容易ですねriisu.gif

b4_20121124130545.jpg
b5_20121124130546.jpg
b6_20121124130546.jpg

また,四面体PABCの平面y=tによる断面は実は正三角形になっています。
それを利用するアイデアもありますよ~rajio02.gif

b17.jpg


断面積が分かったので,これで体積計算の式を立てることが出来ます

b7_20121124130622.jpg

2つの積分を分けて計算してみましょう~
I_1をまずは三角関数に置換して求めてみます。

b8_20121124130622.jpg

I_3 は,例えば半角の公式を使ってみます。

b9_20121124130623.jpg

I_4は元の変数に戻したほうが計算しやすいです。

b10_20121124130623.jpg

I_2 はただの多項式の積分ですね。

b11.jpg


というわけで答えが求められましたpresent.gif


先ほどは三角関数に置換した
I_1 の計算を無理関数のままでやってみましょう~~

b12.jpg

I_6 はただの多項式の積分。
I_7 は円の一部分の面積です~

b13.jpg

I_8 は不定積分を求めることが割と容易に出来ますよ~

b14.jpg

三角関数に置換しても特に難しくありません~

b15.jpg

b16.jpg



ここまでは,3つのパーツのうち1つを計算して,それを3倍する方針でしたが
次は,全パーツを考えて t を -1≦t≦2 の範囲で積分する方針をとってみますkusyami02.gif


1/2≦t≦2 における断面積の考察はさっきやった通りです。

また,0≦t≦1/2 においては,1/2≦t≦1 の場合と同様にS(t)が与えられます。


b18.jpg


問題は, -1≦t≦0 における考察です。
0≦t≦2のときとの大きな違いは,四面体PABCの断面が三角形ではなくて
等脚台形である点です。
意外と見落としやすいところなので,うっかりしないように注意したい部分ですkinoko01.gif

b19.jpg


この台形の上底 L と,円柱によって切り抜かれる 2√(1-t^2) との
大小関係を調べてみます
等しくなるのは t=-1/2 のときで,それより大きいときは L のほうが小さく
それより小さいときは L のほうが小さいです。

b20.jpg


したがって,考えている立体の断面は,
-1≦t≦-1/2 のときは台形2つになり,
-1/2≦t≦0 のときは三角形2つになります。

b21.jpg

  b22.jpg

これで体積を立式できますね~katorisenko02.gif


b23.jpg

最初の積分は-1から+1までの積分なので,
偶関数と奇関数に分けると効率よいですhiyo_uru.gif

b24.jpg

  b25.jpg
b26.jpg

I_10 の計算にはさっきやったI_8が出てきます。
既に求めてるのでその計算は省きますね

b27.jpg

I_11 は I_2 と同じですね。

b28.jpg


そんなわけで答えが求められました
場合分けが多くてちょっと大変でしたねkaeru_en4.gif





次回はx軸方向での積分を考えてみます~ladybug.gif






    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 積分 体積 空間図形 断面積 三角関数 無理関数

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