プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

07 | 2017/08 | 09
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2012年東工大入試数学 第6問その3

2012.11.26 00:09|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきますよ~~

問題はこちらぺんぎんmini
mon6.jpg


三角錐が円柱からはみ出しているので,
そのはみ出した部分の体積を出してくれという問題ですtree02(1).gif

      a1_20121124021601.jpg


今回は,平面x=tによる断面積をx軸方向に積分する方針で答えを求めてみます~

平面z=0で切った断面は,原点を重心とする1辺2√3の正三角形ABCから
円x^2+y^2=1を切り抜いた形です。

体積を求めたい立体はy軸に関して対称になっているので,
x≧0にある部分の体積を求めて2倍してみましょー
Bのx座標が√3なので,平面x=t (0≦t≦√3)による断面を考えます。

三角錐PABCをこの平面x=tで切ったときの断面は三角形で,
平面x=0で切ったときの断面の三角形に相似です。
上側の頂点は辺PB上にあることに注意です。x軸上ではありません。
そのy座標は直線 y=(-1/√3)x と x=t の交点から与えられます。
すなわち y=-t/√3 です~
それは下図(真上から見た様子を想定してみるといいっす)から分かります。

c1_20121125001050.jpg

c17_20121125003735.jpg

c3_20121125001050.jpg


ここで, t/√3 と √(1-t^2) の大小を比較しておきましょう。
この2つの値の大小関係によって断面図が変わってしまうからですningyou.gif

c7_20121125001127.jpg

これを踏まえて3パターンに分けて断面図を考察します~

最初は 0<t≦√3/2 の場合ですよ~nasu.gif
断面は2つの三角形になっています。

c4_20121125001051.jpg

ℓ,ℓ_1 は平面z=0による断面図から考えると分かりやすいです。
h_1,h_2 はx=0による三角錐の断面図の三角形との相似関係を使うと分かりやすいです。

c8_20121125001127.jpg
c9_20121125001128.jpg



次は √3/2≦t<1 の場合ですよ~kinoko04.gif
断面図が四角形と三角形の2つから構成されます~

c5_20121125001051.jpg

ℓ,ℓ_1,ℓ_2,h_2 は(ア)と同じですが,h_1 は値が異なります。

c10_20121125001128.jpg

三角錐の断面積から切り抜かれる円柱の断面積を引いてS(t)を求めてみます。

c11_20121125001129.jpg

c12_20121125001129.jpg


最後に 1≦t<2 の場合ですjitensya.gif
円柱による切り抜きが無くなるので,断面は1つの三角形です。
その面積は(イ)の中で求めていました。

c6_20121125001052.jpg

c13_20121125001152.jpg
c14_20121125001152.jpg



これで断面積が分かったので,体積を求める式が立てられますね


c15_20121125021240.jpg



積分計算については前回,前々回とガッツリやったので
今回はあっさりいきましょか~

c16_20121125001153.jpg


そんなわけで無事に答えが求められました~~girl12.gif







さて,立体の対称性に関して,改めて別の視点から見てみましょう~

0≦x≦√3/2,1/2≦y≦2 の範囲にある部分の6倍を考えてもOKです~

このとき平面x=tによる断面は1つの三角形になりますね

c18_20121125191901.jpg

c19.jpg
c20.jpg



断面の形状を調べるのに場合分けを必要としないこと,
断面が1つの三角形という簡単な図形であること


より,他の解法より手間が少ないので,今まで挙げた解法の中で
一番簡単な方法であるかと思われます





       
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東工大 大学入試 数学 2012 積分 空間図形 三角関数 断面積 無理関数

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。