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2012年北大入試理系数学第1問その1

2012.12.04 02:53|大学入試問題
どもども。


今回からは今年の北大入試の理系数学の問題をやっていきますよ~taxi01.gif

問題は大問が5つ。
第1問は1次変換,第2問は三角関数,第3問は微積分,
第4問は2次関数,第5問は確率です。
取り組みやすい問題が多い中,第4問がちょと厄介です。
残りの問題は割と点数を取りやすいはずなので,
いかにそれらを得点できたかがポイントになりますね。

今回は第1問をやっていきます~

問題はこちら~算数mini
hmon1.jpg


3条件イ,ロ,ハを満たす1次変換を決定する問題です。
a,b,c,d を求めるため連立方程式を解かなければいけません。
落ち着いて解くことができるかどうかが試されます


4つの未知数があるので,4本の式を連立させる必要がありますが,
条件イ,ロ,ハからそれぞれ1個ずつと,問題文で与えられた ad-bc=1
によって4本の条件式が得られます。

とりあえずそれを求めてみましょーーsuika.gif

条件イは,直線y=x上の点が直線y=x上に移るというものです。
y=x上の任意の点(t,t)の移り先の座標についてx座標とy座標が等しいことから
立式すると,それがtに関する恒等式にならなければいけませんね
そのための条件として a+b=c+d が出てきます。
同じ要領で条件ロ,ハからも条件式を得ることができますよ~


d1_20121204005646.jpg


4本の式が得られたので,あとは方程式を解いて a,b,c,d の値を求めることができます。
ところで,(1)の問題はkの取り得る値の範囲を出せというものでした。
kがどのような値だったら,条件イ,ロ,ハと ad-bc=1 を満たす行列Aが存在するのか。
これは,条件①,②,③,④を同時に満たす実数 a,b,c,d が存在するようなkの範囲を出せ
ということに他なりません。
つまり,方程式を解いて出てくる a,b,c,d の値が実数になるためのkの条件を出せばOKです~onegai03t.gif

d2_20121204005646.jpg
d3_20121204005647.jpg

(2)はもはや瞬殺でしたね!


kの範囲を求める部分については別のやり方もあります。


 判別式を用いる

上の解法で出てきた (1-k^2)a^2=1 という条件式。
これはaに関する2次方程式とみなすことも可能ですね~
ただし,それは k≠±1 の場合の話です。
k=±1のときは2次方程式にならないどころか0=1という不合理な式になってしまいます。
したがって,上の解法と同じように,k=±1は除外です~
あとは2次方方程式が実数解を持つ条件は, 判別式≧0 で与えられますね~onpu01.gif

d9_20121204010013.jpg


 「k=  」の形に解いてしまう

a,b,c,d を,条件①,②,③,④を同時に満たす実数であるとすると,
kを a,b,c,d を用いた式で表すことができます。
特に,b,c,dを消去すればaだけの式で表すことができます。
具体的には (1-k^2)a^2=1 をkについて解けばいいですねnabe.gif

d4_20121204005745.jpg

このaの変域内において, k=±√(1-1/a^2) の取り得る値の範囲を調べればいいですね~

d5_20121204005746.jpg

極限とか偶関数とか割かし大げさなものを持ち出してきましたが,
ぶっちゃけ, 0≦1-1/a^2<1 であることはほとんど明らかですよね~






次は,最初に(t,t),(t,-t),(t,0)の行き先を考えた解法とは違って
もっとシンプルに(1,1),(1,-1),(1,0)の行き先を考えて条件式を得る
解法に関して注意を述べたいと思います~kinoko03(1).gif

例えば,直線y=x上の任意の点が直線y=x上に移る,という条件から,
(1,1)の行き先がy=x上にあることは分かります。
そしてそのことから条件 a+b=c+d  を導いたとします。
これは最初の解法の中で導いた条件 a+b=c+d  とは異質のものなんですbikkuri01(1).gif
後者(最初の解法)の場合は,「 a+b=c+d  」であることと,
「直線y=x上の任意の点の行き先が直線y=x上に移る」ことが同値であることを表しています。
一方で前者(今の解法)の場合は,「 a+b=c+d  」であることと,「(1,1)の行き先がy=x上にある」
ことが同値であることを表しています。
つまり,(1,1)はy=x上に移るけど,それ以外のy=x上の点はy=x上に移るかどうかは知らん
という無責任な状態になっているんですね~
条件ロ,ハの方も同様です。
したがって,後で(1,1),(1,-1),(1,0)以外の点でもちゃんと条件満たしてますよ~~
という十分性の確認作業が必要になってしまうんです

d6_20121204005746.jpg
  d7_20121204005746.jpg

例えばここら辺で十分性の確認を入れておきます~

d8_20121204005747.jpg

あとは④の条件から行列Aを決定すればOKです~









次回はもうちょっとこの問題に関して補足を入れますよ~b-09.gif





   
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タグ:北大 大学入試 数学 2012 1次変換 行列 必要十分条件

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